फैलाव: प्रसरण और मानक विचलन
“मानक विचलन 'माध्य से औसतन कितनी दूर' है, यह बताता है।”
सूत्र
σ² = { (x₁−x̄)² + ⋯ + (xₙ−x̄)² } / nकैसे पढ़ें: प्रसरण माध्य से हर मान के विचलन के वर्गों का औसत है, और उसका वर्गमूल मानक विचलन है
- xᵢ − x̄
- — विचलन — कोई मान माध्य से कितनी दूर है
- (xᵢ − x̄)²
- — वर्गित विचलन (वर्ग करने से चिह्न हट जाता है)
- σ²
- — प्रसरण — वर्गित विचलनों का औसत
- σ
- — मानक विचलन — प्रसरण का (धनात्मक) वर्गमूल
शुरुआत
दो डेटासेट का माध्य समान हो सकता है फिर भी वे 'कितने फैले हुए हैं' इसमें बहुत अलग हो सकते हैं — प्रसरण और मानक विचलन उस फैलाव को मापने के पैमाने हैं।
सरल शब्दों में
माध्य से हर मान के विचलन के वर्गों का औसत प्रसरण है; उसका वर्गमूल मानक विचलन है।
अंतर्ज्ञान
माध्य निशाने का केंद्र है, और मानक विचलन यह बताता है कि तीर औसतन केंद्र से कितनी दूर गिरते हैं। छोटा मान मतलब कसकर इकट्ठा; बड़ा मान मतलब व्यापक रूप से बिखरा हुआ।
कैसे बनता है
① माध्य निकालें, ② हर विचलन निकालें (मान − माध्य), ③ विचलन जोड़ने पर हमेशा 0 मिलता है, इसलिए चिह्न हटाने के लिए उन्हें वर्गित करके औसत लें → प्रसरण, ④ वर्ग करने से इकाइयाँ बढ़ गईं, इसलिए वापस पाने के लिए वर्गमूल लें → मानक विचलन।
उदाहरण
डेटा 3, 4, 5, 6, 7 → माध्य 5। विचलन −2, −1, 0, 1, 2; वर्ग 4, 1, 0, 1, 4 का योग 10 है। प्रसरण = 10/5 = 2, मानक विचलन = √2 ≈ 1.41।
आम ग़लतफ़हमी
कच्चे विचलनों का औसत हमेशा 0 आता है, इसलिए वह फैलाव नहीं माप सकता — इसीलिए हम वर्ग करते हैं। साथ ही, प्रसरण वर्गित इकाइयों (जैसे अंक²) में होता है, इसलिए मूल इकाइयों में बात करने के लिए मानक विचलन का उपयोग करते हैं।
कहाँ उपयोग होता है
टेस्ट स्कोर कितने समान रूप से गिरते हैं, किसी उत्पाद की गुणवत्ता कितनी स्थिर है, निवेश जोखिम (अस्थिरता) — 'सिर्फ माध्य से छिपी स्थिरता' को मापना।
कहाँ से आया
मानक विचलन का नाम और चिह्न 1800 के दशक के अंत में कार्ल पियर्सन से आया; फैलाव को एक संख्या में समेटने वाला यह औज़ार आधुनिक सांख्यिकी का एक स्तंभ बन गया।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
अगर किसी डेटासेट का प्रसरण 9 है, तो उसका मानक विचलन क्या है?
- 3✓
- 4.5
- 9
- 81
अभ्यास
डेटा 4, 4, 4, 4 का प्रसरण क्या है?
उत्तर: 0
- हर मान माध्य 4 के बराबर है
- सभी विचलन 0 हैं → प्रसरण 0
मुख्य बात: अगर सभी मान बराबर हैं, तो कोई फैलाव नहीं है, इसलिए प्रसरण 0 होता है।
डेटा 2, 4, 6, 8, 10 का प्रसरण क्या है?
उत्तर: 8
- माध्य = 30/5 = 6
- विचलन −4, −2, 0, 2, 4; वर्ग 16, 4, 0, 4, 16 का योग 40
- 40 / 5 = 8
मुख्य बात: माध्य → विचलन → वर्ग → औसत, इसी क्रम में।
डेटा 1, 2, 3, 4, 5 का प्रसरण और मानक विचलन पता करें।
उत्तर: undefined
- माध्य = 3
- विचलन −2, −1, 0, 1, 2; वर्गों का योग 10
- प्रसरण = 10/5 = 2, मानक विचलन = √2 ≈ 1.41
मुख्य बात: मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल है, जो मूल इकाइयों को वापस लाता है।