केंद्रीय सीमा प्रमेय
“केंद्रीय सीमा प्रमेय: किसी भी चीज़ को पर्याप्त जोड़ें और वह घंटी बन जाती है।”
सूत्र
(x̄ₙ − μ) / (σ/√n) → N(0, 1) (n → ∞)कैसे पढ़ें: मूल बंटन जो भी हो, बड़े प्रतिदर्शों के औसत एक ऐसे बंटन का पालन करते हैं जो सामान्य (घंटी) आकार के क़रीब पहुँचता है
- x̄ₙ
- — आकार n के एक प्रतिदर्श का माध्य
- μ
- — मूल बंटन का माध्य
- σ/√n
- — प्रतिदर्श माध्य की मानक त्रुटि — उसके डगमगाने का आकार
- N(0,1)
- — मानक सामान्य बंटन (माध्य 0, मानक विचलन 1 वाली घंटी)
शुरुआत
एक पासा सपाट है, लेकिन दस पासों का योग घंटी-आकार का है। यही कारण है कि दुनिया घंटी वक्रों से भरी है।
सरल शब्दों में
केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि मूल बंटन का आकार चाहे जो हो — सपाट या तिरछा — अगर आप कई स्वतंत्र प्रतिदर्श लेकर उनका औसत (या योग) निकालें, तो उन औसतों का बंटन सामान्य (घंटी) आकार के क़रीब पहुँचता है।
अंतर्ज्ञान
कई छोटे, स्वतंत्र यादृच्छिक प्रभावों को जोड़ें तो चरम (सब कुछ बड़ा या सब कुछ छोटा) दुर्लभ हो जाते हैं जबकि बीच (धक्के और खिंचाव आपस में रद्द हो जाते हैं) आम हो जाता है। इसलिए परिणाम बीच में उभार वाली एक घंटी बनता है। हर कारण का आकार जो भी हो, इससे फ़र्क़ नहीं पड़ता — उन्हें पर्याप्त संख्या में जोड़ें तो घंटी बन जाती है। इसीलिए ऊँचाई, माप-त्रुटियाँ और पासों के योग सब घंटी-आकार के होते हैं।
कैसे बनता है
दो हिस्से — केंद्र μ और फैलाव σ/√n। प्रतिदर्श माध्य सच्चे माध्य μ के इर्द-गिर्द जमा होते हैं (बड़ी संख्याओं का नियम), और उस जमाव की चौड़ाई मानक त्रुटि σ/√n है। n बढ़ने के साथ चौड़ाई संकरी होती जाती है और आकार एक चिकने सामान्य वक्र में बदल जाता है। यह प्रमेय बंटन के आकार के बारे में है, केवल उसका केंद्र कहाँ है इसके बारे में नहीं।
उदाहरण
एक पासा सपाट बंटन देता है — 1 से 6 तक समान संभावना (माध्य 3.5)। लेकिन दस पासे फेंककर योग निकालें, तो वह योग 35 के इर्द-गिर्द घंटी-आकार में जमा हो जाता है। एक सपाट इनपुट एक घंटी-आकार का आउटपुट देता है।
आम ग़लतफ़हमी
यह प्रमेय प्रतिदर्श माध्य (या योग) के बंटन के बारे में है, कच्चे डेटा के बारे में नहीं। मूल डेटा जितना चाहे तिरछा हो सकता है — जो घंटी-आकार बनता है वह कई मानों के औसतों का बंटन है, डेटा खुद नहीं।
कहाँ उपयोग होता है
सांख्यिकी में सामान्य बंटन के हर जगह दिखने का मूल कारण, सर्वेक्षणों में त्रुटि मार्जिन, विश्वास अंतराल, गुणवत्ता प्रबंधन में नियंत्रण चार्ट, ए/बी परीक्षण, माप-त्रुटि विश्लेषण — प्रतिदर्शों से लगभग हर निष्कर्ष इसी प्रमेय पर टिका है।
कहाँ से आया
डी मॉइवर ने सिक्का उछालों के लिए इसे पहली बार 1733 में देखा, लाप्लास ने इसे सामान्यीकृत किया, और ल्यापुनोव व लिंडबर्ग ने 1900 के दशक की शुरुआत में इसे कठोर बनाया। 'केंद्रीय' का मतलब है 'केंद्रीय महत्व वाला'।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार, कई स्वतंत्र चरों के प्रतिदर्श माध्य का बंटन किस बंटन के क़रीब पहुँचता है?
- एकसमान (सपाट)
- सामान्य (घंटी)✓
- तिरछा
- द्विपद
अभ्यास
मानक विचलन σ=10 और प्रतिदर्श आकार n=100 के साथ, प्रतिदर्श माध्य की मानक त्रुटि σ/√n ज्ञात करें।
उत्तर: 1
- √n = √100 = 10
- σ/√n = 10/10 = 1
मुख्य बात: प्रतिदर्श जितना बड़ा होगा, माध्य का डगमगाना σ/√n उतना ही छोटा होगा।
σ=20 और n=4 के साथ, मानक त्रुटि σ/√n ज्ञात करें।
उत्तर: 10
- √n = √4 = 2
- σ/√n = 20/2 = 10
मुख्य बात: मानक त्रुटि √n के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अगर प्रतिदर्श आकार n को चौगुना कर दिया जाए, तो माध्य की मानक त्रुटि किस गुणक से घटती है?
उत्तर: 2
- मानक त्रुटि σ/√n है
- n को 4× करने पर √n दोगुना होता है → त्रुटि आधी हो जाती है (गुणक 2)
मुख्य बात: सटीकता दोगुनी करने के लिए प्रतिदर्श को चौगुना करें।
केंद्रीय सीमा प्रमेय की मदद से समझाएँ कि कई प्राकृतिक राशियाँ (ऊँचाई, माप-त्रुटियाँ) घंटी-आकार की क्यों होती हैं।
उत्तर: undefined
- ऐसे मान अक्सर कई छोटे, स्वतंत्र कारकों का योग होते हैं
- कई छोटे प्रभाव जुड़कर CLT के अनुसार सामान्य बंटन के क़रीब पहुँचते हैं
- इसलिए कारण जो भी हों, परिणाम घंटी-आकार का निकलता है
मुख्य बात: कई छोटे कारणों का योग → एक घंटी। यही CLT का संदेश है।