पूरक घटनाएँ
“'कम से कम एक' के लिए, 1 में से 'बिल्कुल भी नहीं' घटाएँ।”
सूत्र
P(Aᶜ) = 1 − P(A)कैसे पढ़ें: A के न होने की प्रायिकता 1 घटा A के होने की प्रायिकता है
- A
- — कोई घटना
- Aᶜ
- — A के न होने की घटना (उसका पूरक)
- 1 − P(A)
- — पूरी प्रायिकता 1 घटा A के होने की प्रायिकता
शुरुआत
सीधे गिनना मुश्किल हो ऐसी प्रायिकता — जैसे 'कम से कम एक' — अक्सर उलटते ही खुल जाती है: 1 घटा 'बिल्कुल भी नहीं'।
सरल शब्दों में
किसी चीज़ के न होने की प्रायिकता पूरी प्रायिकता 1 घटा उसके होने की प्रायिकता है।
अंतर्ज्ञान
होना और न होना, दोनों मिलकर हमेशा 100% (=1) बनाते हैं। दोनों टुकड़े मिलकर पूरा वृत्त भरते हैं, इसलिए एक को जान लेने पर दूसरा बस 1 में से घटाना है।
कैसे बनता है
एक घटना A और उसका पूरक Aᶜ कभी ओवरलैप नहीं करते (दोनों साथ नहीं हो सकते) और साथ मिलकर सब कुछ ढक लेते हैं। इसलिए P(A)+P(Aᶜ)=1, और पुनर्व्यवस्थित करने पर, P(Aᶜ)=1−P(A)।
उदाहरण
तीन सिक्का उछालों में 'कम से कम एक हेड' की प्रायिकता: इसका पूरक 'सब टेल' है जो 1/8 है। तो 1 − 1/8 = 7/8।
आम ग़लतफ़हमी
पूरक 'A से कम' नहीं है — यह 'A को छोड़कर बाक़ी सब कुछ' है। 'कम से कम एक' का विपरीत 'ज़्यादा से ज़्यादा एक' नहीं बल्कि 'बिल्कुल भी नहीं' है।
कहाँ उपयोग होता है
'कम से कम ~' और 'कम से कम एक बार' वाली समस्याएँ लगभग हमेशा पूरक से तेज़ी से हल होती हैं। ख़ासकर तब कारगर जब कई प्रयासों में सफलता और विफलता को पलटना हो।
कहाँ से आया
होने और न होने का योग 1 होने का विचार शुरुआती प्रायिकता से स्वाभाविक रूप से निकला, जो पूरे को 1 मानकर हिस्सों में बाँटती थी।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
अगर कल बारिश होने की प्रायिकता 0.3 है, तो बारिश न होने की प्रायिकता क्या है?
- 0.3
- 0.5
- 0.7✓
- 1
अभ्यास
अगर किसी घटना की प्रायिकता 0.25 है, तो उसके न होने की प्रायिकता क्या है?
उत्तर: 0.75
- P(होना) = 0.25
- 1 − 0.25 = 0.75
मुख्य बात: P(न होना) = 1 − P(होना)।
एक पासा फेंकने पर, 1 न आने की प्रायिकता क्या है?
उत्तर: 3
- P(1 आना) = 1/6
- 1 − 1/6 = 5/6
मुख्य बात: 'नहीं' ही पूरक है — 1 में से घटाएँ।
पूरक का इस्तेमाल करके, दो सिक्का उछालों में 'कम से कम एक हेड' की प्रायिकता ज्ञात करें।
उत्तर: undefined
- पूरक 'सब टेल' = 1/4
- 1 − 1/4 = 3/4
मुख्य बात: 'कम से कम एक' के लिए, विपरीत ('बिल्कुल भी नहीं') गिनना तेज़ है।