गुणन सर्वसमिकाएँ
“(a+b)² का राज़ है बीच में फँसा 2ab।”
सूत्र
(a + b)² = a² + 2ab + b²कैसे पढ़ें: योग का वर्ग है हर वर्ग जमा 2ab
- a, b
- — जोड़े जा रहे दो पद
- 2ab
- — बीच वाला पद, जिसे भूलना आसान है
- (a + b)²
- — भुजा a+b वाले वर्ग का क्षेत्रफल
शुरुआत
हर बार (a+b)² को हाथ से गुणा करने की ज़रूरत नहीं — एक क्षेत्रफल चित्र यह पैटर्न आँखों में बसा देता है।
सरल शब्दों में
(a+b)², a²+b² नहीं है; बीच में एक 2ab घुस जाता है, जिससे यह a²+2ab+b² बनता है।
अंतर्ज्ञान
भुजा a+b वाला एक वर्ग बनाएँ। यह चार टुकड़ों में बँट जाता है — एक a² वर्ग, एक b² वर्ग, और 'दो' a×b आयत। वे दोनों आयत ही ठीक 2ab हैं।
कैसे बनता है
तीन मुख्य सर्वसमिकाएँ — (a+b)²=a²+2ab+b², (a−b)²=a²−2ab+b², और (a+b)(a−b)=a²−b²। पहली दो में 'बीच का 2ab' है; आख़िरी में बीच का पद ग़ायब हो जाता है और वर्गों का अंतर रह जाता है।
उदाहरण
(x+3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x²+6x+9। वह बीच वाला 6x ही 2ab की जगह है।
आम ग़लतफ़हमी
(a+b)² ≠ a²+b²। 2ab भूल जाना बीजगणित की सबसे आम चूक है। बीच में हमेशा एक पद होता है।
कहाँ उपयोग होता है
यह उलझी हुई गुणा को एक पंक्ति में समेट देता है और मानसिक गणना तेज़ करता है — और यही अगले चरण, गुणनखंडन, के लिए उल्टा पढ़ी जाने वाली कुंजी भी है।
कहाँ से आया
ये संबंध यूक्लिड की 'एलिमेंट्स' की पुस्तक II में 'क्षेत्रफल बाँटने' से जुड़े ज्यामितीय प्रमेयों के रूप में, आरेखों के साथ, मिलते हैं।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
(x + 2)² का विस्तार करें।
- x² + 4x + 4✓
- x² + 4
- x² + 2x + 4
- x² + 4x + 2
अभ्यास
गुणन सर्वसमिका का उपयोग करके 102² निकालें।
उत्तर: 10404
- 102² = (100 + 2)²
- = 100² + 2·100·2 + 2² = 10000 + 400 + 4
- = 10404
मुख्य बात: (a+b)² सर्वसमिका बड़ी संख्याओं का वर्ग मन में निकाल देती है।
गुणन सर्वसमिका का उपयोग करके 21 × 19 निकालें।
उत्तर: 399
- 21 × 19 = (20 + 1)(20 − 1)
- = 20² − 1² = 400 − 1
- = 399
मुख्य बात: योग गुणा अंतर = a²−b² — बीच वाला पद ग़ायब हो जाता है।
(x + 5)² का विस्तार करें।
उत्तर: undefined
- (x+5)² = x² + 2·x·5 + 5²
- = x² + 10x + 25
मुख्य बात: बीच वाला पद 10x (=2ab) मत भूलिए।