द्विघात फलन
“द्विघात फलन एक परवलय है; इसका शीर्ष चोटी या तल में से एक है।”
सूत्र
y = a(x − p)² + qकैसे पढ़ें: शीर्ष (p, q) वाला एक परवलय
- a
- — यह किस दिशा में खुलता है (चिह्न) और इसकी चौड़ाई (आकार)
- (p, q)
- — परवलय का शीर्ष — अधिकतम या न्यूनतम बिंदु
- x
- — इनपुट मान
शुरुआत
अगर रैखिक फलन एक सीधी रेखा है, तो द्विघात फलन एक परवलय है — बिल्कुल वही वक्र जो फेंकी गई गेंद बनाती है।
सरल शब्दों में
y = a(x−p)² + q। ग्राफ एक परवलय है, और शीर्ष (p, q) इसकी 'नुकीली नोक' है (सबसे ऊँचा या सबसे नीचा बिंदु)।
अंतर्ज्ञान
अगर a>0 है तो यह ऊपर खुला कप (∪) है, तो शीर्ष 'सबसे नीचा बिंदु' है; अगर a<0 है तो यह नीचे खुला कैप (∩) है, तो शीर्ष 'सबसे ऊँचा बिंदु' है। |a| जितना बड़ा, उतना ही यह संकरा और खड़ा होता है।
कैसे बनता है
y=ax²+bx+c को वर्ग पूरा करके फिर से लिखने पर y=a(x−p)²+q बनता है, जो शीर्ष (p,q) दिखाता है। p सममिति अक्ष की स्थिति है, q वहाँ की ऊँचाई है।
उदाहरण
y=x²−2x−3 = (x−1)²−4। शीर्ष (1,−4); चूँकि a=1>0, यह ऊपर खुला परवलय है जिसका सबसे नीचा बिंदु (1,−4) पर है। y-अंत:खंड −3 है (x=0 पर)।
आम ग़लतफ़हमी
a का चिह्न चूकने से अधिकतम और न्यूनतम बदल जाते हैं — a>0 न्यूनतम देता है (तल), a<0 अधिकतम देता है (चोटी)। शीर्ष का x-निर्देशांक भी उलझाने वाला है, क्योंकि (x−p) में p का इस्तेमाल होता है।
कहाँ उपयोग होता है
परवलयाकार एंटीना, फव्वारे का चाप, अधिकतम-क्षेत्रफल और अधिकतम-लाभ की समस्याएँ — जब भी पूछा जाए 'यह सबसे बड़ा या सबसे छोटा कहाँ है', द्विघात फलन जवाब देता है।
कहाँ से आया
गैलीलियो ने जब दिखाया कि फेंकी गई वस्तु का रास्ता ठीक यही वक्र है, तब परवलय भौतिकी से जुड़ गया।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
y = (x − 2)² + 3 का शीर्ष क्या है?
- (2, 3)✓
- (−2, 3)
- (2, −3)
- (3, 2)
अभ्यास
y = x² में, x = 3 होने पर y क्या है?
उत्तर: 9
- y = 3²
- = 9
मुख्य बात: द्विघात फलन भी हर x के लिए एक ही y देता है।
y = (x − 1)² − 4 के शीर्ष का x-निर्देशांक क्या है?
उत्तर: 1
- शीर्ष रूप a(x−p)²+q में, p ही x-निर्देशांक है
- (x − 1)² से p = 1 मिलता है
मुख्य बात: (x − p) में, p शीर्ष का x-निर्देशांक होता है।
y = x² − 4x + 3 के शीर्ष का x-निर्देशांक क्या है?
उत्तर: 2
- सममिति अक्ष x = −b/(2a) = −(−4)/(2·1)
- = 4/2 = 2
मुख्य बात: शीर्ष का x-निर्देशांक सीधे −b/2a से मिलता है।
y = x² − 4x + 3 को वर्ग पूरा करके फिर से लिखें और शीर्ष निकालें।
उत्तर: undefined
- x² − 4x = (x − 2)² − 4
- y = (x − 2)² − 4 + 3 = (x − 2)² − 1
- शीर्ष (2, −1)
मुख्य बात: वर्ग पूरा करना तुरंत शीर्ष दिखा देता है।