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रैखिक फलन और उनके ग्राफ

“रैखिक फलन एक सीधी रेखा है; ढाल बताती है 'कितनी खड़ी'।”

सूत्र

y = ax + b

कैसे पढ़ें: ढाल a और y-अंतःखंड (y-intercept) b वाली एक सीधी रेखा

a: — ढाल (slope) — x के 1 बढ़ने पर y कितना बढ़ता है
b: — y-अंतःखंड — x = 0 पर y का मान (शुरुआती ऊँचाई)
x: — इनपुट मान

शुरुआत

y=ax+b बस एक सीधी रेखा है — ढाल a तय करती है कि यह 'कितनी खड़ी' है, और b तय करता है कि यह 'कहाँ से शुरू होती है'।

सरल शब्दों में

एक नियम जिसमें x डालने पर y = 'a गुणा x जमा b' निकलता है। इसका ग्राफ बनाने पर हमेशा एक सीधी रेखा मिलती है।

अंतर्ज्ञान

a एक सीढ़ी की खड़ीता है — जब भी x 1 बढ़ता है, y, a जितना चढ़ता है। b शुरुआती ऊँचाई है (x=0 पर y)। इन दोनों को जानकर रेखा पूरी तरह तय हो जाती है।

कैसे बनता है

a ढाल है = (y में परिवर्तन)/(x में परिवर्तन)। b, y-अंतःखंड है, वह ऊँचाई जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है। अगर a धनात्मक है तो रेखा दाईं ओर ऊपर जाती है, अगर ऋणात्मक है तो नीचे।

उदाहरण

y=2x−1। x=0,1,2 पर y का मान −1,1,3 है। हर बार x के 1 बढ़ने पर y 2 बढ़ता है — ढाल ठीक 2 है।

आम ग़लतफ़हमी

ढाल a और अंतःखंड b को उलझाना आसान है। y=3x−2 में, 3 ढाल है और −2 शुरुआती ऊँचाई है — न कि 3।

कहाँ उपयोग होता है

फोन प्लान (आधार शुल्क + उपयोग), स्थिर गति पर तय दूरी, तापमान परिवर्तन — 'स्थिर दर पर बदलने' वाले किसी भी संबंध का बुनियादी मॉडल।

कहाँ से आया

समीकरणों को ग्राफ से जोड़ने वाला कोऑर्डिनेट तल 1600 के दशक में देकार्त ने रचा — वह क्षण जब आखिरकार एक समीकरण 'तस्वीर' बन सका।

पूर्वापेक्षाएँ

रैखिक समीकरण निर्देशांक तल में दूरी

त्वरित जाँच

रैखिक फलन y = 3x − 2 की ढाल क्या है?

3✓
−2
2
−3

अभ्यास

y = 2x + 1 के लिए, x = 3 पर y क्या है?

उत्तर: 7

हल:

y = 2·3 + 1
= 7

मुख्य बात: x रखने पर रेखा का एक बिंदु y निकलता है।

y = −2x + 5 के लिए, x = 1 पर y क्या है?

उत्तर: 3

हल:

y = −2·1 + 5
= 3

मुख्य बात: ऋणात्मक ढाल का मतलब है, x बढ़ने पर y घटता है।

(1, 2) और (3, 8) से गुज़रने वाली रेखा की ढाल क्या है?