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घातांकीय और लघुगणकीय फलन

“घातांक गुणा की दुनिया हैं; लघुगणक उसे वापस जोड़ की दुनिया में घुमाते हैं।”

सूत्र

y = aˣ ⇔ x = logₐ y

कैसे पढ़ें: a को x बार खुद से गुणा करने पर y मिलता है; इसके विपरीत, y तक पहुंचने के लिए a को कितनी बार गुणा करना पड़ता है, वही लघुगणक x है

a: — आधार — 1 के अलावा कोई धनात्मक संख्या (जिसे बार-बार गुणा किया जाता है)
aˣ: — a की घात x (घातांकीय फलन)
logₐ y: — y पाने के लिए a को कितनी बार गुणा करना पड़ता है (लघुगणक)

शुरुआत

घातांक और लघुगणक एक-दूसरे की दर्पण छवि हैं — एक पूछता है 'तुमने कितनी बार गुणा किया?', दूसरा जवाब वापस देता है।

सरल शब्दों में

aˣ, a को खुद से x बार गुणा करता है; logₐ y पूछता है 'y तक पहुंचने के लिए a को कितनी बार गुणा करना होगा?'। घातांक और लघुगणक एक-दूसरे को पलट देते हैं।

अंतर्ज्ञान

घातांक गुणा के ज़रिए तेज़ी से ऊपर उठता है; लघुगणक उस विस्फोट को वापस घुमाता है, अंकों की गिनती जितनी धीमी गति से बढ़ता हुआ। इसे गुणा की दुनिया (घातांक) और जोड़ की दुनिया (लघुगणक) के बीच एक अनुवादक के रूप में सोचें।

कैसे बनता है

a>1 के लिए घातांकीय फलन y=aˣ, x बढ़ने पर तेज़ी से ऊपर जाता है; लघुगणक इसका व्युत्क्रम है, वही ग्राफ y=x के आर-पार परावर्तित। इसीलिए logₐ(aˣ)=x और a^(logₐ y)=y एक-दूसरे को काट देते हैं।

उदाहरण

चूंकि 2³=8, इसे पीछे चलाने पर log₂ 8 = 3 मिलता है। '8 पाने के लिए 2 को तीन बार गुणा करो' को लघुगणक के रूप में पढ़ें तो 'आधार-2 का 8 का लघुगणक 3 है'।

आम ग़लतफ़हमी

log(x+y), log x + log y के बराबर नहीं है। लघुगणक जिसे जोड़ में बदलता है वह है गुणा — log(xy)=log x + log y। इसे उलट दें तो हर लघुगणक की गणना गड़बड़ हो जाती है।

कहाँ उपयोग होता है

ध्वनि के डेसिबल, भूकंप का रिक्टर स्केल, अम्लता का pH, चक्रवृद्धि ब्याज, बैक्टीरिया की वृद्धि — जो कुछ भी 'एक गुणक से' बढ़ता है वह घातांक और लघुगणक की भाषा बोलता है।

कहाँ से आया

नेपियर ने 1600 के दशक में लघुगणक का आविष्कार किया ताकि 'गुणा को जोड़ में बदल कर गणना कम की जा सके'। कैलकुलेटर आने से पहले, लघुगणक तालिकाओं ने खगोलविदों के काम के जीवन को शाब्दिक रूप से बढ़ाया।

पूर्वापेक्षाएँ

घातांक के नियम द्विघात फलन

त्वरित जाँच

log₂ 8 क्या है?

1
2
3✓
8

अभ्यास

log₂ 16 ज्ञात करें।

उत्तर: 4

हल:

16 पाने के लिए 2 को कितनी बार गुणा करना है?
2⁴ = 16, तो log₂ 16 = 4

मुख्य बात: लघुगणक वापस घातांक पूछता है।

log₁₀ 1000 ज्ञात करें।

उत्तर: 3

हल:

1000 पाने के लिए 10 को कितनी बार गुणा करना है?
10³ = 1000, तो log₁₀ 1000 = 3

मुख्य बात: आधार-10 लघुगणक असल में 'अंकों की गिनती' जैसा है।

समीकरण 3ˣ = 81 हल करें।