सारणिक (Determinant)
“सारणिक बताता है 'यह ट्रांसफ़ॉर्मेशन क्षेत्रफल को किस गुणक से scale करता है' — और 0 का मतलब है यह स्पेस को चपटा कर देता है।”
सूत्र
det([[a, b], [c, d]]) = ad − bcकैसे पढ़ें: एक 2×2 आव्यूह (matrix) के लिए, यह ट्रांसफ़ॉर्मेशन unit square के क्षेत्रफल को ad−bc से scale करता है — negative चिह्न orientation पलटने का संकेत है
- det
- — सारणिक (Determinant) — वह ऑपरेशन जो किसी ट्रांसफ़ॉर्मेशन का 'क्षेत्रफल scale factor' निकालता है
- a, b, c, d
- — आव्यूह की चारों प्रविष्टियाँ (entries)
- ad − bc
- — 2×2 सारणिक का सूत्र: विकर्ण (diagonal) के गुणनफल में से anti-diagonal के गुणनफल को घटाना
शुरुआत
जब कोई आव्यूह स्पेस को खींचता और तिरछा करता है, तो सारणिक एक ही संख्या में बताता है 'क्षेत्रफल कितने गुना बढ़ा?'
सरल शब्दों में
2×2 आव्यूह [[a,b],[c,d]] का सारणिक ad − bc है। यह संख्या बताती है कि यह आव्यूह किसी भी आकृति के क्षेत्रफल को किस गुणक (factor) से scale करता है।
अंतर्ज्ञान
unit square (क्षेत्रफल 1) पर ट्रांसफ़ॉर्मेशन लगाएँ तो वह एक समांतर चतुर्भुज (parallelogram) बन जाता है। उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ठीक |सारणिक| के बराबर होता है। सारणिक 3 का मतलब क्षेत्रफल तीन गुना हुआ; सारणिक 0 का मतलब आकृति चपटी होकर एक रेखा या बिंदु में सिमट गई। negative चिह्न का मतलब है ट्रांसफ़ॉर्मेशन ने आकृति को पलट दिया (mirror image)।
कैसे बनता है
ad − bc के दोनों हिस्से column vectors (a,c) और (b,d) से बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल हैं। ad 'फैलाव' का योगदान है, bc वह 'ओवरलैप जो काट दिया जाता है' — इनका अंतर सही क्षेत्रफल है। अगर दोनों columns एक ही दिशा में इशारा करते हैं (parallel), तो समांतर चतुर्भुज सिमटकर क्षेत्रफल 0 हो जाता है, इसलिए det = 0।
उदाहरण
det([[1,2],[3,4]]) = 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2। क्षेत्रफल |−2| = 2 गुना बढ़ा, और negative चिह्न orientation पलटने का संकेत है। det([[2,0],[0,3]]) = 6 → क्षैतिज में 2× और ऊर्ध्वाधर में 3× से, जैसी उम्मीद थी, क्षेत्रफल 6× हो जाता है।
आम ग़लतफ़हमी
सारणिक 'आव्यूह के साइज़ को एक संख्या में समेटना' नहीं है — यह ग़लत समझ है। बड़ी प्रविष्टियों (entries) वाले आव्यूह का भी det = 0 हो सकता है (जैसे [[1,2],[2,4]])। मायने रखता है प्रविष्टियों का आकार नहीं, बल्कि दोनों columns जो क्षेत्रफल घेरते हैं (यानी वे रैखिक रूप से स्वतंत्र/linearly independent हैं या नहीं)।
कहाँ उपयोग होता है
det = 0 का मतलब है कोई inverse नहीं और linear system का कोई unique solution नहीं (मुख्य कसौटी), eigenvalues के लिए characteristic equation det(A−λI)=0, समाकलों (integrals) के change-of-variables में Jacobian, cross product का परिमाण (magnitude) — यह सब इसी क्षेत्रफल गुणक से निकलता है।
कहाँ से आया
लाइबनिट्स और जापान के सेकी ताकाकाज़ु ने 1600 के दशक के अंत में linear systems हल करते हुए इसे अलग-अलग खोजा। 'determinant' नाम कॉशी (Cauchy) ने दिया, इस विचार से कि यह 'निर्धारित (determine)' करता है कि कोई solution है या नहीं।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
det([[2,1],[0,3]]) क्या है?
- 5
- 6✓
- 7
- 0
अभ्यास
det([[3,1],[2,4]]) निकालें।
उत्तर: 10
- ad − bc = 3·4 − 1·2
- = 12 − 2 = 10
मुख्य बात: 2×2 सारणिक = विकर्ण गुणनफल − anti-diagonal गुणनफल।
det([[2,0],[0,5]]) निकालें।
उत्तर: 10
- ad − bc = 2·5 − 0·0
- = 10
मुख्य बात: एक विकर्ण आव्यूह (diagonal matrix) का सारणिक विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल है = axis scale factors का गुणनफल।
det([[1,2],[2,4]]) निकालें और अपनी नोटबुक में लिखें कि इसका परिणाम क्या दर्शाता है।
उत्तर: 0
- ad − bc = 1·4 − 2·2 = 4 − 4 = 0
- columns (1,2) और (2,4) parallel हैं → समांतर चतुर्भुज सिमट जाता है
- det = 0 का मतलब है ट्रांसफ़ॉर्मेशन स्पेस को एक रेखा में चपटा कर देता है, और कोई inverse नहीं है
मुख्य बात: det = 0 यह संकेत है कि 'क्षेत्रफल सिमटकर 0 हो गया' = कोई inverse मौजूद नहीं।
unit square का उपयोग करके समझाएँ कि det([[a,b],[c,d]]) एक 'क्षेत्रफल scale factor' क्यों है।
उत्तर: undefined
- unit square की भुजाएँ (1,0),(0,1) ट्रांसफ़ॉर्मेशन के बाद (a,c),(b,d) बन जाती हैं
- इनसे बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल |ad−bc| है
- चूँकि मूल क्षेत्रफल 1 था, |det| ठीक वही गुणक है जिससे क्षेत्रफल बदला
मुख्य बात: सारणिक = ट्रांसफ़ॉर्मेशन के बाद unit square (क्षेत्रफल 1) जितनी जगह घेरता है।