आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर (Eigenvalues & Eigenvectors)
“eigenvector वह दिशा है जो किसी मैप के अंतर्गत नहीं हिलती; eigenvalue बताता है वह कितना scale होता है।”
सूत्र
Av = λv (v ≠ 0); det(A − λI) = 0कैसे पढ़ें: एक eigenvector v, A के अंतर्गत अपनी दिशा बनाए रखता है और सिर्फ़ λ से scale होता है; वह गुणक λ ही eigenvalue है
- A
- — एक वर्ग आव्यूह (square matrix)—स्पेस का एक ट्रांसफ़ॉर्मेशन
- v
- — eigenvector—एक सदिश जिसकी दिशा मैप द्वारा नहीं बदलती
- λ
- — eigenvalue—वह गुणक जिससे वह दिशा फैलती या सिकुड़ती है
- det(A−λI)=0
- — eigenvalues ढूँढने वाला characteristic equation
शुरुआत
कोई आव्यूह स्पेस को चाहे जैसे भी घुमाए, कुछ खास अक्ष होते हैं जिनकी दिशा कभी नहीं बदलती।
सरल शब्दों में
ट्रांसफ़ॉर्मेशन A लगाने पर ज़्यादातर सदिशों की दिशा बदल जाती है। पर कुछ खास सदिश v अपनी दिशा बनाए रखते हैं और सिर्फ़ एक गुणक λ से scale होते हैं। ऐसा v एक eigenvector है, और गुणक λ उसका eigenvalue है।
अंतर्ज्ञान
किसी ट्रांसफ़ॉर्मेशन को 'स्पेस को खींचना और घुमाना' मानें, तो eigenvectors इसकी घूर्णन धुरी (axis of rotation) जैसे हैं—वे दिशाएँ जो हिलती नहीं। जैसे पृथ्वी के घूर्णन अक्ष पर बिंदु घूमते हुए भी अपनी दिशा बनाए रखते हैं, वैसे ही eigenvector की दिशा मैप द्वारा सुरक्षित रहती है। λ बताता है कि वह अक्ष कितना फैलता है।
कैसे बनता है
Av=λv को पुनर्व्यवस्थित करने पर (A−λI)v=0 मिलता है। इसका v≠0 के साथ हल होने के लिए, आव्यूह A−λI 'चपटा (flat)' होना चाहिए, और यह शर्त है det(A−λI)=0। इस characteristic equation को λ के लिए हल करने पर eigenvalues मिलते हैं; हर λ को वापस डालने पर eigenvectors मिलते हैं।
उदाहरण
A=[[2,1],[1,2]] के लिए: det([[2−λ,1],[1,2−λ]]) = (2−λ)²−1 = λ²−4λ+3 = (λ−1)(λ−3) = 0, तो λ=1, 3। λ=3 के लिए eigenvector (1,1) है: A(1,1)=(3,3)=3(1,1)। λ=1 के लिए यह (1,−1) है: A(1,−1)=(1,−1)।
आम ग़लतफ़हमी
eigenvector किसी खास लंबाई का तीर नहीं है—यह एक दिशा है। अगर (1,1) एक eigenvector है, तो (2,2) और (−5,−5) भी हैं: सब एक ही eigenvector (एक ही दिशा)। मायने रखता है दिशा और उसका गुणक λ, साइज़ नहीं।
कहाँ उपयोग होता है
Google PageRank (वेब का एक eigenvector), कंपन और अनुनाद (resonance) की प्राकृतिक आवृत्तियाँ, क्वांटम मैकेनिक्स में ऊर्जा स्तर, principal component analysis (PCA), पुलों और इमारतों की structural stability—जहाँ भी किसी सिस्टम की 'प्राकृतिक धुरी' खोजनी हो, वहाँ eigenvalues दिखते हैं।
कहाँ से आया
ऑयलर ने घूर्णन (rotation) का अध्ययन करते हुए इसका बीज बोया, और हिल्बर्ट ने 1900 के दशक की शुरुआत में इसे 'eigen' (जर्मन में 'अपना') नाम दिया। क्वांटम मैकेनिक्स के साथ यह भौतिकी की मुख्य भाषा बन गया।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
विकर्ण आव्यूह (diagonal matrix) [[3,0],[0,5]] का एक eigenvalue कौन-सा है?
- 4
- 3✓
- 0
- 8
अभ्यास
A=[[2,0],[0,7]] के दोनों eigenvalues में से बड़ा वाला ढूँढें।
उत्तर: 7
- विकर्ण आव्यूह के eigenvalues उसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ 2 और 7 हैं
- बड़ा वाला 7 है
मुख्य बात: विकर्ण या त्रिकोणीय (triangular) आव्यूहों के लिए विकर्ण प्रविष्टियाँ ही eigenvalues होती हैं।
ऊपरी-त्रिकोणीय (upper-triangular) आव्यूह A=[[4,1],[0,4]] का eigenvalue ढूँढें।
उत्तर: 4
- त्रिकोणीय आव्यूह के eigenvalues विकर्ण प्रविष्टियाँ हैं
- दोनों 4 हैं (एक दोहराया हुआ/repeated eigenvalue)
मुख्य बात: त्रिकोणीय आव्यूह के लिए det(A−λI) सीधे विकर्ण प्रविष्टियों में factor हो जाता है।
A=[[2,1],[1,2]] के लिए det(A−λI)=0 हल करें और बड़ा eigenvalue ढूँढें।
उत्तर: 3
- (2−λ)² − 1 = λ² − 4λ + 3
- = (λ−1)(λ−3) = 0 → λ=1, 3
- बड़ा वाला 3 है
मुख्य बात: characteristic equation det(A−λI)=0 से eigenvalues मिलते हैं।
जाँचें कि (1,1), A=[[2,1],[1,2]] का eigenvector है और उसका eigenvalue ढूँढें।
उत्तर: undefined
- A(1,1) = (2·1+1·1, 1·1+2·1) = (3,3)
- (3,3) = 3·(1,1), तो दिशा सुरक्षित है, eigenvalue λ=3
मुख्य बात: किसी eigenvector की जाँच के लिए बस देखें कि Av, v का ही एक scalar गुणज (multiple) है या नहीं।