बीजगणितmethodfoundations

गुणनखंडन

“गुणनखंडन उन दो संख्याओं को ढूंढना है जो 'अचर पद के बराबर गुणा हों, गुणांक के बराबर जुड़ें'।”

सूत्र

x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

कैसे पढ़ें: दो ऐसी संख्याएं समूहित करें जो रैखिक गुणांक के बराबर जुड़ें और अचर पद के बराबर गुणा हों

a + b: — x का गुणांक = दोनों संख्याओं का योग
ab: — अचर पद = दोनों संख्याओं का गुणनफल
(x + a)(x + b): — गुणनखंडित गुणनफल रूप

शुरुआत

गुणनखंडन गुणा के सूत्रों को उल्टा पढ़ना है — एक विस्तारित व्यंजक को वापस 'गुणनफल' में घुमाना।

सरल शब्दों में

x²+5x+6 जैसी किसी चीज़ को (x+2)(x+3) जैसे 'दो व्यंजकों के गुणनफल' में बदलना। यह विस्तार की ठीक उल्टी प्रक्रिया है।

अंतर्ज्ञान

यह एक आयत की 'चौड़ाई और ऊंचाई' वापस पाना है जिसका क्षेत्रफल x²+5x+6 है। वे दो संख्याएं (2 और 3) ढूंढें जो अचर पद 6 के बराबर गुणा हों और मध्य गुणांक 5 के बराबर जुड़ें, और आपका काम हो गया।

कैसे बनता है

x²+(a+b)x+ab के रूप के लिए, दो संख्याएं a, b ढूंढें जो 'मध्य गुणांक के बराबर जुड़ें और अचर पद के बराबर गुणा हों'। फिर यह (x+a)(x+b) में गुणनखंडित होता है। चिह्न भी मिलाएं।

उदाहरण

x²+5x+6: वे दो संख्याएं जो 6 के बराबर गुणा और 5 के बराबर जुड़ें, हैं 2 और 3 → (x+2)(x+3)। इन्हें वापस गुणा करने पर सच में x²+5x+6 मिलता है।

आम ग़लतफ़हमी

चिह्न आसानी से खो जाते हैं — x²−5x+6 में गुणनफल +6 है और योग −5, तो ये −2 और −3 हैं, यानी (x−2)(x−3)। साथ ही सबसे पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना न भूलें (2x²+6x में 2x)।

कहाँ उपयोग होता है

यह द्विघात समीकरण हल करने का सबसे तेज़ रास्ता है, और भिन्नों को रद्द करने तथा उलझे व्यंजकों को सरल बनाने का सर्वोपयोगी औज़ार है।

कहाँ से आया

'गुणनखंडों' में बांटना संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ने की प्राचीन परंपरा को आगे बढ़ाता है, जिसे अक्षरों वाले व्यंजकों तक विस्तारित किया गया।

पूर्वापेक्षाएँ

गुणन सर्वसमिकाएँ

त्वरित जाँच

x² − 9 का गुणनखंडन करें।

(x + 3)(x − 3)✓
(x − 3)²
(x + 9)(x − 1)
(x + 3)²

अभ्यास

x² + 7x + 12 का गुणनखंडन करें।

उत्तर: 0

हल:

वे दो संख्याएं जो 12 के बराबर गुणा और 7 के बराबर जुड़ें: 3 और 4
(x + 3)(x + 4)

मुख्य बात: गुणनफल = अचर पद, योग = रैखिक गुणांक।

x² − x − 6 का गुणनखंडन करें।

उत्तर: undefined

हल:

वे दो संख्याएं जो −6 के बराबर गुणा और −1 के बराबर जुड़ें: −3 और 2
(x − 3)(x + 2)

मुख्य बात: ऋणात्मक अचर पद → दोनों संख्याओं के चिह्न विपरीत होते हैं।

2x² + 6x का गुणनखंडन करें।