मॉड्यूलर अंकगणित
“मॉड्यूलर अंकगणित घड़ी का अंकगणित है—पूरा चक्कर लगाकर आप फिर शुरुआत पर आ जाते हैं।”
सूत्र
a ≡ b (mod n) ⟺ n | (a − b)कैसे पढ़ें: a और b को n से भाग देने पर समान शेषफल मिले तो वे mod n में सर्वांगसम होते हैं—यानी n, a−b को विभाजित करता है
- a ≡ b
- — यह चिह्न बताता है कि a और b सर्वांगसम हैं (समान शेषफल)
- mod n
- — मापांक n के सापेक्ष नापना दर्शाता है—घड़ी के लिए यह 12 है
- n | (a−b)
- — n, a−b को विभाजित करता है (उनका अंतर n का गुणज है)
शुरुआत
घड़ी में 9 बजे के पाँच घंटे बाद 14 नहीं बल्कि 2 बजते हैं। यह 'शुरुआत पर वापस लपेटने' वाला अंकगणित ही मॉड्यूलर अंकगणित है।
सरल शब्दों में
मॉड्यूलर अंकगणित वह अंकगणित है जो किसी संख्या n के बाद वापस 0 पर लपट जाता है। दो संख्याएँ 'सर्वांगसम' कहलाती हैं अगर n से भाग देने पर उनका शेषफल बराबर हो, इसे a ≡ b (mod n) लिखा जाता है। केवल शेषफल मायने रखता है।
अंतर्ज्ञान
संख्या रेखा को सीधा बिछाने के बजाय, इसे n खानों वाले एक वृत्त (घड़ी के डायल) पर लपेट दें। n पार करते ही आप फिर 0 पर आ जाते हैं। 12 घंटे की घड़ी पर 17:00 बजे 5 पर आता है—इसलिए 17 और 5, mod 12 में सर्वांगसम हैं। बड़ी संख्याएँ मुड़कर 'चक्र पर एक स्थिति' बन जाती हैं।
कैसे बनता है
मुख्य बात शेषफल है। a को n से भाग देने पर मिलने वाला शेषफल ही a का 'mod n में मान' है। जोड़, घटाव और गुणा—सभी शेषफलों पर ही लागू होते हैं, इसलिए बड़ी संख्याओं की ज़रूरत नहीं—बस शेषफलों से काम चलाएँ: (a+b) mod n शेषफलों का योग है, mod n में घटाया हुआ।
उदाहरण
17 ≡ 5 (mod 12) क्यों: 17 − 5 = 12, जो 12 का गुणज है। घड़ी पर 17:00 शाम के 5 बजे हैं। इसी तरह 25 mod 7 = 4, क्योंकि 25 = 3·7 + 4।
आम ग़लतफ़हमी
सामान्य नियम के अनुसार शेषफल कभी ऋणात्मक नहीं होता। जैसे −1 mod 5 का उत्तर −1 नहीं बल्कि 4 है (क्योंकि −1 = (−1)·5 + 4)। यह घड़ी पर एक घंटा पीछे जाकर 11 पर पहुँचने जैसा है।
कहाँ उपयोग होता है
आधुनिक क्रिप्टोग्राफी (RSA, एलिप्टिक कर्व) की जड़, हैश फ़ंक्शन और चेकसम (ISBN और क्रेडिट-कार्ड सत्यापन), सप्ताह के दिन और कैलेंडर की गणना, यादृच्छिक संख्या जनरेटर, 12-स्वर संगीत स्केल—हर चक्रीय गणना मॉड्यूलर अंकगणित पर चलती है।
कहाँ से आया
गाउस ने 1801 की अपनी Disquisitiones Arithmeticae में सर्वांगसमता चिह्न ≡ पेश किया, जिसने संख्या सिद्धांत को व्यवस्थित किया। यह उस व्यक्ति का हस्ताक्षर औज़ार था जिसने संख्या सिद्धांत को 'गणित की रानी' कहा।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
25 mod 7 क्या है? (25 को 7 से भाग देने पर शेषफल)
- 3
- 4✓
- 5
- 11
अभ्यास
17 mod 5 निकालें।
उत्तर: 2
- 17 = 3·5 + 2
- शेषफल 2 है
मुख्य बात: a mod n, n से भाग देने के बाद का शेषफल है।
(7 + 8) mod 12 निकालें।
उत्तर: 3
- 7 + 8 = 15
- 15 mod 12 = 3 (एक चक्कर पूरा होकर, फिर 3)
मुख्य बात: घड़ी का अंकगणित—12 पार करते ही फिर 0 से शुरू करें।
(4 × 6) mod 5 निकालें।
उत्तर: 4
- 4 × 6 = 24
- 24 = 4·5 + 4, शेषफल 4
मुख्य बात: गुणा भी शेषफलों पर ही लागू होता है।
अगर आज सोमवार है, तो 100 दिन बाद कौन सा दिन होगा? (mod 7 का प्रयोग करें)
उत्तर: 1
- 100 mod 7 = 2 (क्योंकि 98 = 14·7, शेषफल 2)
- सोमवार + 2 दिन = बुधवार
मुख्य बात: सप्ताह का दिन mod 7 है—हर 7 दिन बाद शुरुआत पर लौट आते हैं।