म.स.प. और ल.स.प.
“महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य जोड़ी बनाकर चलते हैं।”
सूत्र
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × bकैसे पढ़ें: महत्तम समापवर्तक गुणा लघुत्तम समापवर्त्य, दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है
- GCD(a, b)
- — महत्तम समापवर्तक — सबसे बड़ी संख्या जो दोनों को विभाजित करे
- LCM(a, b)
- — लघुत्तम समापवर्त्य — सबसे छोटी संख्या जो दोनों की गुणज हो
- a × b
- — दोनों संख्याओं का खुद का गुणनफल
शुरुआत
'दोनों को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या' और 'दोनों जिस तक पहुंचें उनमें सबसे छोटी संख्या' — ये दोनों असल में जोड़ी बनाकर चलती हैं।
सरल शब्दों में
म.स.प. वह सबसे बड़ी संख्या है जो दोनों को विभाजित करती है; ल.स.प. वह सबसे छोटी संख्या है जो दोनों की गुणज है — जहां उनकी गुणज पहली बार मिलती हैं।
अंतर्ज्ञान
अभाज्य गुणनखंडन इसे स्पष्ट कर देता है। म.स.प. केवल वे अभाज्य संख्याएं इकट्ठी करता है जो दोनों संख्याएं साझा करती हैं; ल.स.प. हर अभाज्य को इकट्ठा करता है जो किसी में भी दिखाई देती है। इसीलिए इन्हें गुणा करने पर दोनों संख्याओं का गुणनफल वापस मिलता है।
कैसे बनता है
12=2²×3, 18=2×3². केवल साझा न्यूनतम लें → म.स.प.=2×3=6। हर अभाज्य का अधिकतम लें → ल.स.प.=2²×3²=36। जांच: 6×36=216=12×18।
उदाहरण
8 और 12: 8=2³, 12=2²×3। साझा हिस्सा 2²=4 म.स.प. है। सब कुछ उदारता से लेने पर, 2³×3=24, ल.स.प. है। और 4×24=96=8×12 सही निकलता है।
आम ग़लतफ़हमी
म.स.प. छोटी संख्या से बड़ा नहीं हो सकता, और ल.स.प. बड़ी संख्या से छोटा नहीं हो सकता। म.स.प. ≤ छोटी ≤ बड़ी ≤ ल.स.प. याद रखने से गलतियां बचती हैं।
कहाँ उपयोग होता है
भिन्नों को सरल बनाना (म.स.प.) और उभयनिष्ठ हर ढूंढना (ल.स.प.), जब गियर फिर से मेल खाते हैं, या बिना कुछ बचे वस्तुओं को बराबर बांटना — रोज़मर्रा की समस्याएं इनका इस्तेमाल करती हैं।
कहाँ से आया
म.स.प. जल्दी ढूंढने के लिए 'यूक्लिड का एल्गोरिथ्म' लगभग 300 ईसा पूर्व 'एलिमेंट्स' में दिखाई देता है — आज भी कंप्यूटरों द्वारा इस्तेमाल होने वाला सबसे पुराना एल्गोरिथ्म।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
12 और 18 का महत्तम समापवर्तक क्या है?
- 2
- 3
- 6✓
- 36
अभ्यास
8 और 12 का म.स.प. क्या है?
उत्तर: 4
- 8 = 2³, 12 = 2² × 3
- साझा अभाज्य न्यूनतम पर: 2² = 4
मुख्य बात: म.स.प. केवल साझा अभाज्य, उनकी न्यूनतम घात पर लेता है।
4 और 6 का ल.स.प. क्या है?
उत्तर: 12
- 4 = 2², 6 = 2 × 3
- हर अभाज्य अधिकतम घात पर: 2² × 3 = 12
मुख्य बात: ल.स.प. हर अभाज्य को उसकी अधिकतम घात पर इकट्ठा करता है।
15 और 25 का म.स.प. क्या है?
उत्तर: 5
- 15 = 3 × 5, 25 = 5²
- साझा अभाज्य: 5 → म.स.प. = 5
मुख्य बात: यदि केवल एक साझा अभाज्य है, तो वही म.स.प. है।
यह जानते हुए कि 12 और 18 का म.स.प. 6 है, म.स.प.×ल.स.प.=a×b का उपयोग करके ल.स.प. ज्ञात करें।
उत्तर: undefined
- म.स.प. × ल.स.प. = a × b → 6 × ल.स.प. = 12 × 18 = 216
- ल.स.प. = 216 ÷ 6
- ल.स.प. = 36
मुख्य बात: म.स.प. जानने के बाद, एक गुणा-भाग से ल.स.प. मिल जाता है।