संख्याएँ और संक्रियाएँmethodfoundations

अभाज्य गुणनखंडन

“अभाज्य गुणनखंडन किसी संख्या को उसके अभाज्य लेगो में तोड़ता है।”

सूत्र

N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ

कैसे पढ़ें: किसी संख्या को केवल ऐसी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखना जो आगे नहीं टूटतीं

N: — वह पूर्ण संख्या जिसका आप गुणनखंडन करना चाहते हैं
p₁, p₂, …, pₖ: — अभाज्य गुणनखंड — 2, 3, 5, 7 जैसी अभाज्य संख्याएँ जो आगे नहीं टूटतीं
a₁, a₂, …, aₖ: — हर अभाज्य संख्या कितनी बार गुणा होती है (घातांक)

शुरुआत

हर पूर्ण संख्या ठीक एक ही तरीके से कुछ अभाज्य 'लेगो ब्लॉक्स' को गुणा करके बनी होती है।

सरल शब्दों में

एक संख्या को केवल अभाज्य संख्याओं — 2, 3, 5, 7 और आगे — के गुणनफल में तोड़ना।

अंतर्ज्ञान

किसी संख्या को 2 से भाग देते रहें, फिर 3 से, और आगे भी ऐसे ही, आखिर में केवल अटूट अभाज्य संख्याएँ बचती हैं। यही संख्या के 'घटक' हैं। हर संख्या की यह घटक-सूची अनूठी होती है — इसे ही अभाज्य गुणनखंडन की विशिष्टता कहते हैं।

कैसे बनता है

जब तक हो सके 2 से भाग दें, फिर 3 से, फिर 5 से, और आगे भी। हर भागफल को तब तक बाँटते रहें जब तक 1 न मिल जाए। जब कोई अभाज्य संख्या बार-बार आए, तो उसे घातांक में समेट दें।

उदाहरण

60 को भाग दें: 60÷2=30, 30÷2=15, 15÷3=5, 5÷5=1। तो 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5।

आम ग़लतफ़हमी

1 अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए यह किसी गुणनखंडन में कभी नहीं आती। और 4 या 6 जैसी संख्याएँ जो आगे टूट सकती हैं, अभाज्य गुणनखंड नहीं हो सकतीं।

कहाँ उपयोग होता है

भाजकों की गिनती, महत्तम समापवर्तक (GCD) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालना, भिन्नों को सरल करना — संख्याओं की संरचना से जुड़ी लगभग हर गणना की यही शुरुआत है।

कहाँ से आया

'हर संख्या अभाज्य संख्याओं का एक अनूठा गुणनफल है' यह तथ्य अंकगणित का मौलिक प्रमेय कहलाता है, और इसके बीज पहले से ही यूक्लिड के 'एलिमेंट्स' में मौजूद हैं।

त्वरित जाँच

12 का सही अभाज्य गुणनखंडन इनमें से कौन सा है?

2 × 6
2² × 3✓
3 × 4
2 × 3²

अभ्यास

36 का अभाज्य गुणनखंडन करें (दोहराव को घातांक में समेटें)।

उत्तर: undefined

हल:

36 ÷ 2 = 18, 18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3, 3 ÷ 3 = 1
36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²

मुख्य बात: 1 तक पहुँचने तक बारी-बारी सबसे छोटी अभाज्य संख्याओं से भाग दें।

2³ × 5 कौन सी संख्या है?

उत्तर: 40

हल:

2³ = 8
8 × 5 = 40

मुख्य बात: अभाज्य गुणनखंडों को वापस गुणा करने पर मूल संख्या मिलती है।

90 के कितने अलग-अलग (DISTINCT) अभाज्य गुणनखंड हैं?

उत्तर: 3

हल:

90 = 2 × 45 = 2 × 3² × 5
अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हैं 2, 3, 5
→ इनमें से 3

मुख्य बात: दोहराई गई अभाज्य संख्या फिर भी केवल एक ही अलग प्रकार गिनी जाती है।

84 का अभाज्य गुणनखंडन करें।