संख्याएँ और संक्रियाएँconceptfoundations

आवर्ती दशमलव

“आवर्ती दशमलव एक भिन्न ही है, बस अलग वेश में।”

सूत्र

0.ddd… = d/9, 0.abab… = ab/99

कैसे पढ़ें: एक दोहराता अंक 9 के ऊपर वह अंक बन जाता है; दो दोहराते अंक 99 के ऊपर वे अंक बन जाते हैं

0.ddd…: — एक आवर्ती दशमलव जिसमें एक अंक d हमेशा दोहराता है
d/9: — दोहराने वाला अंक 9 से भाग दिया गया
ab/99: — अगर दो-अंकों वाला खंड ab दोहराता है, तो 99 से भाग दें

शुरुआत

1/3 = 0.333… जैसा हमेशा चलने वाला दशमलव असल में एक सुथरी भिन्न का ही दूसरा रूप है।

सरल शब्दों में

ऐसा दशमलव जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों का एक ही खंड हमेशा दोहराता रहे। इसे हमेशा वापस भिन्न में बदला जा सकता है।

अंतर्ज्ञान

1 को 3 से भाग दें तो शेषफल एक ही ढर्रे में घूमता रहता है, जिससे 0.333… मिलता है। संभावित शेषफल सीमित ही होते हैं, इसलिए दोहराव अनिवार्य है — यही वजह है कि हर भिन्न या तो रुकने वाला या दोहराने वाला दशमलव बनती है।

कैसे बनता है

वापस बदलने की तरकीब: x = 0.ddd… मान लें, 10 से गुणा करें, और घटाएँ। x=0.333… के लिए, 10x=3.333…, 10x−x=3, 9x=3, x=3/9=1/3। यहीं से 'दोहराने वाले स्थानों जितने 9 के ऊपर वह अंक' नियम आता है।

उदाहरण

0.777… को भिन्न में बदलें। x=0.777…, 10x=7.777…, घटाने पर 9x=7 मिलता है, तो x=7/9। और वाकई 7÷9=0.777…।

आम ग़लतफ़हमी

0.999… महज '1 के करीब' नहीं है — यह ठीक-ठीक 1 है। अगर x=0.999…, तो 10x−x=9, तो 9x=9 और x=1। यह उसी संख्या को लिखने का बस दूसरा तरीका है।

कहाँ उपयोग होता है

भिन्न और दशमलव के बीच बदलाव, कैलकुलेटर पर दशमलव की पहचान पता लगाना, और यह समझना कि हर परिमेय संख्या 'रुकने या दोहराने वाला' दशमलव क्यों है।

कहाँ से आया

भिन्न को भाग देने पर शेषफल का चक्र बनना काफी पुराना जाना हुआ तथ्य है, और नोटेशन में दोहराने वाले खंड को ऊपर बिंदु या रेखा से चिह्नित करने पर समझौता हुआ।

पूर्वापेक्षाएँ

परिमेय संख्याओं का अंकगणित

त्वरित जाँच

भिन्न में लिखने पर 0.555… क्या है?

5/9✓
5/10
1/5
5/99

अभ्यास

भिन्न में लिखने पर 0.888… क्या है?

उत्तर: 0

हल:

एक अंक 8 दोहराता है → इसे 9 के ऊपर रखें
0.888… = 8/9

मुख्य बात: एक-अंक वाला आवर्ती दशमलव वह अंक 9 के ऊपर होता है।

भिन्न में लिखने पर 0.121212… क्या है?

उत्तर: 0

हल:

दो-अंकों वाला खंड 12 दोहराता है → इसे 99 के ऊपर रखें
0.121212… = 12/99

मुख्य बात: दो दोहराते अंक 99 के ऊपर आते हैं (हर दोहराने वाले स्थान के लिए एक 9)।

0.444… को भिन्न में बदलें।

उत्तर: undefined

हल:

x = 0.444… मान लें, तो 10x = 4.444…
10x − x = 4, तो 9x = 4
x = 4/9

मुख्य बात: 10 से गुणा करके घटाने से दोहराने वाली पूँछ मिट जाती है।

गणना से दिखाएँ कि 0.999… = 1।