वृत्त की चाप और त्रिज्यखंड
“त्रिज्यखंड बस 'पूरा वृत्त × मेरे टुकड़े का अंश (θ/360)' है।”
सूत्र
π r² × (θ / 360)कैसे पढ़ें: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल गुणा केंद्रीय कोण द्वारा लिए गए अंश (θ/360) के बराबर है
- r
- — वृत्त की त्रिज्या
- θ
- — त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण (डिग्री में)
- θ / 360
- — त्रिज्यखंड द्वारा लिया गया पूरे वृत्त का अंश
शुरुआत
त्रिज्यखंड असल में 'पिज़्ज़ा का एक टुकड़ा' ही है — बस यह जानना है कि आपका टुकड़ा पूरे का कितना अंश है।
सरल शब्दों में
त्रिज्यखंड वृत्त का एक हिस्सा है। इसका केंद्रीय कोण θ एक पूरे चक्कर (360°) का कोई अंश लेता है, और यह वृत्त के कुल क्षेत्रफल (या परिधि) का भी वही अंश लेता है।
अंतर्ज्ञान
एक पूरे पिज़्ज़ा की कल्पना करें। 90° का केंद्रीय कोण पूरे चक्कर का एक चौथाई है, इसलिए क्षेत्रफल और चाप की लंबाई दोनों ठीक पूरे के एक चौथाई हैं। θ/360 ठीक 'मेरा टुकड़ा कितना अंश है' यही है।
कैसे बनता है
दो हिस्से — ① वृत्त की कुल मात्रा (क्षेत्रफल πr², परिधि 2πr), ② आपके टुकड़े का अंश θ/360। इन्हें गुणा करें: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr²·(θ/360), चाप की लंबाई = 2πr·(θ/360)।
उदाहरण
त्रिज्या 6 और केंद्रीय कोण 90° वाला त्रिज्यखंड: क्षेत्रफल = π·6²·(90/360) = 36π·(1/4) = 9π। चाप की लंबाई = 2π·6·(1/4) = 3π।
आम ग़लतफ़हमी
त्रिज्या की जगह व्यास डाल देना, या θ/360 का गुणक भूलकर पूरे वृत्त के क्षेत्रफल से जवाब दे देना आसान है। पहले 'कौन-सा अंश है' यह तय कर लें।
कहाँ उपयोग होता है
पिज़्ज़ा और पाई के टुकड़े, घड़ी की सुई द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल, गोलाकार पटरियाँ, पंखे और ब्लेड डिज़ाइन करना — जहाँ भी वृत्त का कोई हिस्सा दिखता है।
कहाँ से आया
आर्किमिडीज़ ने वृत्त को अनगिनत टुकड़ों में काटकर वृत्त का क्षेत्रफल πr² निकाला था; त्रिज्यखंड उस वृत्त को किसी कोण के अंश से बाँटने का स्वाभाविक विस्तार है।
त्वरित जाँच
त्रिज्या 6 और केंद्रीय कोण 90° वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल क्या है? (उत्तर π के गुणज के रूप में दें)
- 3π
- 6π
- 9π✓
- 36π
अभ्यास
त्रिज्या 6 और केंद्रीय कोण 90° वाले त्रिज्यखंड की चाप-लंबाई क्या है? π के गुणांक के रूप में उत्तर दें (जैसे, अगर यह 3π है तो 3 लिखें)।
उत्तर: 3
- चाप की लंबाई = 2πr × (θ/360) = 2π·6 × (90/360)
- = 12π × (1/4) = 3π
- π का गुणांक 3 है
मुख्य बात: चाप की लंबाई 'परिधि 2πr' गुणा टुकड़े के अंश के बराबर है।
त्रिज्या 5 वाले पूरे वृत्त का क्षेत्रफल क्या है? π के गुणांक के रूप में उत्तर दें।
उत्तर: 25
- वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = π·5²
- = 25π
- π का गुणांक 25 है
मुख्य बात: 360° (पूरे चक्कर) के केंद्रीय कोण पर, त्रिज्यखंड पूरा वृत्त होता है।
त्रिज्या 4 और केंद्रीय कोण 90° वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल π के गुणांक के रूप में ज्ञात करें। साथ ही अपने नोटपैड पर लिखें कि यह पूरे वृत्त का कौन-सा अंश है।
उत्तर: 4
- 90°, 360° का 1/4 है
- क्षेत्रफल = π·4² × (1/4) = 16π × (1/4) = 4π
- π का गुणांक 4 है
मुख्य बात: पहले θ/360 से 'कौन-सा अंश है' तय करें, फिर गणना आसान हो जाती है।