विश्लेषण और कलनconceptadvanced

श्रेणी का अभिसरण

“अनंत तक जोड़ते रहने पर भी सीमित उत्तर मिल सकता है—बशर्ते टुकड़े काफी तेज़ी से सिकुड़ें।”

सूत्र

S = Σ(n=1..∞) aₙ = lim(N→∞) (a₁ + a₂ + ⋯ + a_N); Σ(n=0..∞) arⁿ = a/(1−r), |r|<1

कैसे पढ़ें: अनंत पदों का जोड़ पहले N पदों के आंशिक जोड़ों की सीमा के रूप में परिभाषित होता है

aₙ: — श्रेणी का n-वाँ पद
Σ(n=1..N): — पहले N पदों का ही सीमित जोड़
S: — वह सीमा जिसके पास आंशिक जोड़ पहुँचते हैं—श्रेणी का जोड़
r: — एक गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य अनुपात—|r|<1 होने पर अभिसरित होती है

शुरुआत

आप अनंत संख्याएँ जोड़ सकते हैं और फिर भी एक सीमित उत्तर पा सकते हैं—1 + ½ + ¼ + ⅛ + ⋯ = 2।

सरल शब्दों में

एक अनंत श्रेणी का 'जोड़' शाब्दिक रूप से अंत तक जोड़ा नहीं जाता। आप पहले N पदों का आंशिक जोड़ बनाते हैं; अगर N बढ़ने पर यह मान किसी संख्या S के पास पहुँचता है, तो श्रेणी 'S की ओर अभिसरित होती है'।

अंतर्ज्ञान

मान लीजिए आप हर कदम बचे हुए फासले का आधा तय करके कमरा पार करते हैं: ½, ¾, ⅞, … आप दीवार तक कभी पूरी तरह नहीं पहुँचते, फिर भी कुल फासला 1 (एक कमरे) के पास पहुँचता है। अनंत टुकड़े एक सीमित दीवार के भीतर समा जाते हैं।

कैसे बनता है

मायने रखता है कि पद aₙ कितनी तेज़ी से 0 की ओर सिकुड़ते हैं। अगर हर बार आधे हो जाएँ (अनुपात ½), तो आंशिक जोड़ एक दीवार के पास सिमटकर अभिसरित होते हैं। अगर वे बहुत धीरे सिकुड़ें, तो आंशिक जोड़ असीमित बढ़ते जाते हैं और अपसरित होते हैं। एक गुणोत्तर श्रेणी |r|<1 होने पर ठीक a/(1−r) पर टिकती है।

उदाहरण

Σ(n=0..∞)(½)ⁿ = 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ⋯। आंशिक जोड़ हैं 1, 1.5, 1.75, 1.875, … → 2। सूत्र से, a=1, r=½ देता है 1/(1−½)=2।

आम ग़लतफ़हमी

क्या पदों का 0 की ओर जाना अभिसरण की गारंटी देता है? नहीं। हरात्मक श्रेणी 1 + ½ + ⅓ + ¼ + ⋯ के पद 0 की ओर जाते हैं फिर भी यह अनंत की ओर अपसरित होती है। 0 की ओर जाना काफी तेज़ी से 0 की ओर जाने के बराबर नहीं है।

कहाँ उपयोग होता है

अनंत दशमलव विस्तार, वार्षिकी का वर्तमान मूल्य, टेलर श्रेणी से फलनों का सन्निकटन, बार-बार होने वाली गणना में त्रुटि विश्लेषण—जहाँ भी अनंत को सीमित रूप में संभाला जाता है, वहाँ श्रेणी का अभिसरण काम कर रहा होता है।

कहाँ से आया

ज़ेनो का विरोधाभास (अकिलीज़ और कछुआ) दो हज़ार साल से ज़्यादा समय तक लोगों को उलझाता रहा, जब तक कोशी ने आंशिक जोड़ों की सीमा के रूप में परिभाषा देकर 'अनंत जोड़' को कठोर आधार नहीं दे दिया।

पूर्वापेक्षाएँ

सिग्मा नोटेशन और श्रेणी अनुक्रम की सीमा

त्वरित जाँच

Σ(n=0..∞)(1/3)ⁿ = 1 + 1/3 + 1/9 + ⋯ क्या है?

3/2✓
1/2
3
यह अपसरित होती है

अभ्यास

जोड़ Σ(n=0..∞)(1/2)ⁿ = 1 + 1/2 + 1/4 + ⋯ निकालें।

उत्तर: 2

हल:

गुणोत्तर श्रेणी a=1, r=1/2
a/(1−r) = 1/(1−1/2) = 2

मुख्य बात: गुणोत्तर श्रेणी बस a/(1−r) है।

जोड़ Σ(n=1..∞)(1/2)ⁿ = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ निकालें।

उत्तर: 1

हल:

पहला पद a=1/2, अनुपात r=1/2
a/(1−r) = (1/2)/(1/2) = 1

मुख्य बात: जोड़ कहाँ से शुरू होता है, इससे पहला पद a बदल जाता है।

जोड़ Σ(n=0..∞)(0.9)ⁿ निकालें।

उत्तर: 10

हल:

a=1, r=0.9
1/(1−0.9) = 1/0.1 = 10

मुख्य बात: r जितना 1 के करीब होगा, जोड़ उतना ही ज़्यादा बढ़ जाता है।

क्या हरात्मक श्रेणी 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ अभिसरित होती है या अपसरित?