अवतलता और द्वितीय अवकलज
“द्वितीय अवकलज का चिह्न = वक्र के मुड़ने की दिशा।”
सूत्र
f''(x) > 0 ⇒ ∪ , f''(x) < 0 ⇒ ∩कैसे पढ़ें: अगर द्वितीय अवकलज धनात्मक है तो वक्र ऊपर की ओर अवतल (∪) है, अगर ऋणात्मक है तो नीचे की ओर अवतल (∩) है
- f''(x)
- — दो बार लिया गया अवकलज (द्वितीय अवकलज)
- ∪
- — ऊपर की ओर अवतल (कप-आकार)
- ∩
- — नीचे की ओर अवतल (टोपी-आकार)
शुरुआत
एक बार और अवकलन करें और आप देख सकते हैं कि कोई वक्र किस दिशा में 'मुड़' रहा है।
सरल शब्दों में
द्वितीय अवकलज f'' ढाल के परिवर्तन की दर है। इसका चिह्न बताता है कि वक्र कप (∪) की तरह मुड़ता है या टोपी (∩) की तरह।
अंतर्ज्ञान
अगर ढाल खुद बढ़ रही है (f''>0), तो वक्र ऊपर की ओर मुड़कर कप-आकार (∪) बनाता है। अगर ढाल घट रही है (f''<0), तो यह टोपी (∩) है। f'' 'ढाल की ढाल' है।
कैसे बनता है
ढाल (f') के लिए एक बार अवकलन करें, फिर वह ढाल कैसे बदलती है (f'') इसके लिए दोबारा। धनात्मक चिह्न का मतलब ऊपर की ओर अवतल, ऋणात्मक का मतलब नीचे की ओर अवतल, और जहाँ चिह्न पलटता है वह नति-परिवर्तन बिंदु है।
उदाहरण
f(x)=x³ के लिए, f''(x)=6x। x=1 पर, f''=6>0 इसलिए यह ऊपर की ओर अवतल है; x=−1 पर, f''=−6<0 इसलिए नीचे की ओर अवतल है। चिह्न x=0 पर पलटता है, जो नति-परिवर्तन बिंदु है।
आम ग़लतफ़हमी
लोग अक्सर 'ऊपर की ओर अवतल (∪)' को ग़लती से 'अवतल' कह देते हैं। साथ ही, f''=0 नति-परिवर्तन बिंदु की गारंटी नहीं देता — चिह्न को वाकई बदलना चाहिए।
कहाँ उपयोग होता है
यह तय करना कि क्रांतिक बिंदु उच्चिष्ठ है या निम्निष्ठ (द्वितीय-अवकलज परीक्षण), किसी ग्राफ़ का सटीक आकार, अर्थशास्त्र में घटती सीमांत उपयोगिता, और भी बहुत कुछ।
कहाँ से आया
वक्रता (कोई चीज़ कितनी तीखी मुड़ती है) का विचार न्यूटन और लाइबनिट्स तक जाता है; द्वितीय अवकलज उस वक्रता के चिह्न को पढ़ने का सरल औज़ार बन गया।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
f(x)=x² का द्वितीय अवकलज f''(x) क्या है?
- 2x
- 2✓
- 0
- x²
अभ्यास
f(x)=x³ के लिए f''(2) क्या है?
उत्तर: 12
- f'(x)=3x²
- f''(x)=6x
- x=2 रखें → 12
मुख्य बात: द्वितीय अवकलज पाने के लिए दो बार अवकलन करें।
f(x)=x⁴ के लिए f''(1) क्या है?
उत्तर: 12
- f'(x)=4x³
- f''(x)=12x²
- x=1 रखें → 12
मुख्य बात: f''>0 है, इसलिए x=1 के पास वक्र ऊपर की ओर अवतल है।
f(x)=x³−3x² के नति-परिवर्तन बिंदु का x-निर्देशांक ज्ञात करें।
उत्तर: undefined
- f'(x)=3x²−6x
- f''(x)=6x−6
- 0 के बराबर रखें: 6x−6=0 → x=1 (इसके इर्द-गिर्द चिह्न पलटता है, इसलिए यह एक नति-परिवर्तन बिंदु है)
मुख्य बात: नति-परिवर्तन बिंदु वह है जहाँ f''=0 है और इसका चिह्न बदलता है।