क्रांतिक बिंदु (Critical Points) — जहाँ ढलान शून्य है
“चोटियों और घाटियों पर, ढलान शून्य होती है।”
सूत्र
f'(x) = 0कैसे पढ़ें: वह x जहाँ अवकलज (ढलान) 0 है — local max या min का संभावित उम्मीदवार
- f'(x)
- — अवकलज = उस बिंदु पर ढलान
- = 0
- — ढलान 0 है, स्पर्शरेखा (tangent) क्षैतिज है
- x
- — max या min के लिए एक संभावित जगह
शुरुआत
किसी फ़ंक्शन की चोटियाँ और घाटियाँ ढूँढना हैरान करने वाला सरल है — बस 'देखो कहाँ ढलान 0 है'।
सरल शब्दों में
अवकलज को 0 के बराबर सेट करके हल करें; जो x मिलते हैं वहाँ स्पर्शरेखा सपाट हो जाती है — max या min के उम्मीदवार।
अंतर्ज्ञान
पहाड़ पर चढ़ते हुए चोटी पर आप पल भर के लिए समतल होते हैं। घाटी की तली में भी ऐसा ही होता है। ऊपर जाने (ढलान +) और नीचे आने (ढलान −) के बीच के मोड़ पर, ढलान ठीक 0 से गुज़रती है।
कैसे बनता है
f'(x)=0 हल करके उम्मीदवार x इकट्ठा करें। फिर हर एक चोटी है या घाटी, यह तय करने के लिए दोनों तरफ़ ढलान के चिह्न (sign), या द्वितीय अवकलज (second derivative) का इस्तेमाल करें।
उदाहरण
f(x)=x²−4x+3 के लिए, f'(x)=2x−4। इसे 0 सेट करें → x=2। वहाँ f(2)=4−8+3=−1 — इस परवलय (parabola) का सबसे निचला बिंदु।
आम ग़लतफ़हमी
ढलान 0 होने का हमेशा मतलब चरम (extremum) नहीं होता। f(x)=x³ के लिए x=0 पर f'=0 है, पर यह न चोटी है न घाटी — यह बस सरककर गुज़र जाता है (एक inflection)।
कहाँ उपयोग होता है
अधिकतम मुनाफ़ा, न्यूनतम लागत, सबसे छोटा रास्ता — हर optimization समस्या जो 'सबसे बेहतर मान' ढूँढती है, वह ढलान = 0 हल करने से शुरू होती है।
कहाँ से आया
अवकलन (differentiation) के औपचारिक रूप लेने से पहले ही, फ़र्मा ने यह विचार बोया कि 'अधिकतम के पास बदलाव थम जाता है'।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
f(x)=x²−6x का चरम किस x पर है?
- 0
- 2
- 3✓
- 6
अभ्यास
f(x)=x²−2x का चरम किस x पर है?
उत्तर: 1
- f'(x)=2x−2
- 0 सेट करें: 2x−2=0 → x=1
मुख्य बात: अवकलन करें, 0 सेट करें, x हल करें।
f(x)=x²+6x+5 किस x पर सबसे छोटा है?
उत्तर: -3
- f'(x)=2x+6
- 0 सेट करें: 2x+6=0 → x=−3
मुख्य बात: ऊपर की ओर खुले परवलय के लिए, ढलान 0 सबसे निचला बिंदु है।
f(x)=x³−3x के सभी क्रांतिक बिंदु (जहाँ ढलान 0 है) ज्ञात करें।
उत्तर: undefined
- f'(x)=3x²−3
- 0 सेट करें: 3x²−3=0 → x²=1 → x=1, x=−1
मुख्य बात: एक से ज़्यादा क्रांतिक बिंदु हो सकते हैं — हर हल को इकट्ठा करें।