कैलकुलस का मूलभूत प्रमेय
“अवकलन और समाकलन एक-दूसरे को पलटने वाली जोड़ी हैं।”
सूत्र
d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)कैसे पढ़ें: अब-तक-के-क्षेत्रफल फलन का अवकलज लें और आप मूल फलन पर वापस पहुंच जाते हैं — समाकलन और अवकलन व्युत्क्रम संक्रियाएं हैं
- ∫ₐˣ f(t) dt
- — a से x तक जमा हुआ क्षेत्रफल (संचयन फलन)
- d/dx
- — उस क्षेत्रफल फलन का अवकलज लें
- f(x)
- — और आप वापस मूल फलन पर पहुंच जाते हैं
शुरुआत
दो विचार जो अलग-अलग बड़े हुए — काटना (अवकलन) और जमा करना (समाकलन) — असल में एक-दूसरे को पलटने वाली जोड़ी निकले। यही कैलकुलस की महान खोज है।
सरल शब्दों में
उस फलन का अवकलज लें जो a से x तक क्षेत्रफल जमा करता आया है, और मूल फलन f(x) तुरंत वापस निकल आता है। अवकलन और समाकलन व्युत्क्रम हैं।
अंतर्ज्ञान
एक बाल्टी में पानी डालें। अब तक जमा हुई मात्रा (समाकल, संचयन) का समय के सापेक्ष अवकलज लें, और आपको इस वक्त डाले जाने की गति (मूल फलन) मिलती है। कुल जमा की परिवर्तन दर = वर्तमान मान।
कैसे बनता है
यह दो भागों में आता है — ① क्षेत्रफल-संचयन फलन का अवकलज लेने पर f वापस मिलता है, और ② इसलिए एक निश्चित समाकल को F(b)−F(a) के रूप में गणना किया जा सकता है। अवकलन जो प्रतिअवकलज सौंपता है, वही समाकल को हल करता है।
उदाहरण
F(x)=∫₀ˣ t dt आधार x और ऊंचाई x वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है, तो x²/2। इसका अवकलज लें: d/dx(x²/2)=x, जो ठीक-ठीक मूल फलन f(t)=t पर वापस पहुंचता है।
आम ग़लतफ़हमी
लोग अक्सर सोचते हैं कि अवकलन और समाकलन 'दो असंबद्ध प्रक्रियाएं' हैं। असल में ये जोड़ और घटाव की तरह एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं — व्युत्क्रम संक्रियाएं।
कहाँ उपयोग होता है
इस प्रमेय की बदौलत आपको हमेशा के लिए क्षेत्रफल जोड़ते रहने की ज़रूरत नहीं — एक ही प्रतिअवकलज ढूंढें और निश्चित समाकल निकल आता है — यह व्यावहारिक कैलकुलस का धड़कता दिल है।
कहाँ से आया
बैरो (न्यूटन के गुरु) जैसे पूर्ववर्तियों को अलग-अलग टुकड़े पता थे, लेकिन अवकलन और समाकलन को एक प्रमेय में बांधना न्यूटन और लाइबनिट्स का काम था।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
मूलभूत प्रमेय किन दो संक्रियाओं को जोड़ता है?
- जोड़ और गुणा
- अवकलन और समाकलन✓
- सीमा और निरंतरता
- गुणनफल और भागफल
अभ्यास
g(x)=∫₀ˣ t² dt के लिए, प्रमेय का उपयोग करके g'(3) ज्ञात करें।
उत्तर: 9
- प्रमेय से: g'(x)=x²
- x=3 रखें → 9
मुख्य बात: संचयन फलन का अवकलज लें और भीतरी फलन तुरंत निकल आता है।
प्रमेय का उपयोग करके ∫₀⁴ 2t dt का मान निकालें।
उत्तर: 16
- प्रतिअवकलज: t²
- [t²]₀⁴ = 16 − 0 = 16
मुख्य बात: प्रतिअवकलज ढूंढें और क्षेत्रफल एक ही घटाव में निकल आता है।
d/dx ∫₁ˣ (t³+1) dt क्या है? एक पंक्ति में कारण लिखें।
उत्तर: undefined
- प्रमेय से, = x³+1
- क्योंकि अब-तक-के-क्षेत्रफल का अवकलज लेने पर इस वक्त डाला जा रहा मान मिलता है
मुख्य बात: निचली सीमा (1) अवकलज को प्रभावित नहीं करती — केवल ऊपरी सीमा x मायने रखती है।