संख्या e
“e 'प्राकृतिक वृद्धि (natural growth)' का आधार है।”
सूत्र
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828कैसे पढ़ें: n चरणों में 1/n को बार-बार compound करने पर जिस संख्या के पास पहुँचते हैं, लगभग 2.718
- n
- — आप कितनी बार compound करते हैं (बिना सीमा के बढ़ता हुआ)
- (1+1/n)ⁿ
- — n चरणों में compound करने से बढ़ा हुआ मान
- e
- — वह लिमिट जिसके पास यह पहुँचता है ≈ 2.71828
शुरुआत
π जितनी मशहूर पर उससे कहीं कम समझी जाने वाली, e लगभग हर जगह छिपी है जहाँ प्रकृति 'बढ़ती' है।
सरल शब्दों में
100% ब्याज (interest) लें, उसे और महीन compounding चरणों में काट दें, और जैसे-जैसे चरणों की संख्या अनंत की ओर जाती है, परिणाम e ≈ 2.718 के पास पहुँचता है।
अंतर्ज्ञान
एक डॉलर पर 100% सालाना ब्याज। साल के अंत में एक बार दिया जाए, तो आपको $2 मिलते हैं। दो बार आधा-आधा देने पर (1.5)²=$2.25 मिलते हैं। जितना महीन काटेंगे, उतना ज़्यादा बढ़ेगा — पर चाहे कितना भी महीन काटें, यह 2.71828… को कभी पार नहीं करता और उसी की ओर अभिसरित (converge) होता है।
कैसे बनता है
मुख्य हिस्सा है (1+1/n)ⁿ। कोष्ठक के अंदर है 'थोड़ा बढ़ना (1+1/n)', घातांक n है 'उसे n बार दोहराना'। n बढ़ाने पर ये दोनों एक-दूसरे को खींचते हैं, और अंततः e पर टिक जाते हैं।
उदाहरण
n=1 → 2, n=2 → (1.5)²=2.25, n=12 → लगभग 2.613, n=∞ → 2.71828…। यह बढ़ता ही रहता है पर e रूपी छत को कभी नहीं तोड़ता।
आम ग़लतफ़हमी
e कोई मनमानी अपरिमेय (irrational) संख्या नहीं है। यह वह एकमात्र आधार (base) है जिसका फ़ंक्शन अवकलन करने पर खुद के बराबर आता है, इसीलिए यह प्रकृति में इतने खास तरीके से बार-बार दिखता है।
कहाँ उपयोग होता है
निरंतर compounding, जनसंख्या वृद्धि, radioactive decay, ठंडा होना (cooling), प्रायिकता (Poisson) — कोई भी प्रक्रिया जो अपने ही आकार के अनुपात में बदलती है।
कहाँ से आया
जैकब बर्नूली को यह लिमिट एक compound-interest समस्या में मिली, और ऑयलर ने इसे e नाम देकर एक स्थिरांक (constant) के रूप में तय किया।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
e का सन्निकट (approximate) मान क्या है?
- 1.414
- 2.718✓
- 3.141
- 1.618
अभ्यास
n=1 होने पर (1+1/n)ⁿ क्या है?
उत्तर: 2
- (1+1/1)¹ = 2¹
- = 2
मुख्य बात: सिर्फ़ एक बार compound करने पर 2 मिलता है, e की ओर शुरुआती बिंदु।
(1+1/2)² क्या है? (दो आधे-चरणों में compounding)
उत्तर: 2.25
- 1+1/2 = 1.5
- 1.5² = 2.25
मुख्य बात: महीन चरण थोड़ा और 2.718… के करीब सरकते हैं।
अगर 100% सालाना ब्याज हर आधे साल compound हो, तो एक साल बाद $1 क्या बनता है? निरंतर compounding (e) से तुलना करें।
उत्तर: undefined
- दो 50% चरण: (1.5)² = $2.25
- अनंत रूप से महीन compound करने पर यह e ≈ $2.718 होता — ज़्यादा
मुख्य बात: महीन compounding ज़्यादा कमाता है, पर उसकी छत e का गुणक है।