श्रृंखला नियम
“श्रृंखला नियम: बाहरी अवकलज × अंदरूनी अवकलज, श्रृंखला में नीचे तक गुणा।”
सूत्र
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)कैसे पढ़ें: बाहरी फलन का अवकलन करें (अंदर वाले को वैसे ही छोड़ें), फिर अंदरूनी फलन के अवकलज से गुणा करें
- g(x)
- — अंदरूनी फलन
- f'(g(x))
- — बाहरी फलन का अवकलन करें, अंदर वाले को अछूता छोड़ते हुए
- g'(x)
- — अंदरूनी फलन का अवकलज
शुरुआत
जब एक फलन दूसरे फलन के अंदर बैठा हो, तो अवकलज 'बाहरी × अंदरूनी' के रूप में बहता है — कैलकुलस में सबसे ज़्यादा इस्तेमाल होने वाला नियम।
सरल शब्दों में
किसी संयुक्त फलन (एक फलन के अंदर दूसरा फलन) का अवकलन करने के लिए, बाहरी फलन के अवकलज को अंदरूनी फलन के अवकलज से गुणा करें।
अंतर्ज्ञान
जुड़े हुए गियरों की कल्पना करें। बाहरी पहिया अंदरूनी पहिये की गति के किसी गुणक पर घूमता है। परिवर्तन की दरें श्रृंखला में नीचे तक गुणा होती जाती हैं — इसीलिए 'श्रृंखला' नियम।
कैसे बनता है
इसे प्याज़ की तरह छीलें, सबसे बाहरी पहले। बाहरी f का अवकलन करें (अंदर वाले g को अकेला छोड़ते हुए), फिर यह g खुद x के साथ कितनी तेज़ी से बदलता है (यानी g') उससे गुणा करें।
उदाहरण
y=(x²+1)³ के लिए, बाहरी है घन (→3u²), अंदरूनी है x²+1 (→2x)। गुणा करें: y'=3(x²+1)²·2x = 6x(x²+1)²। x=1 पर यह 6·1·4 = 24 है।
आम ग़लतफ़हमी
अंदरूनी अवकलज g' से गुणा करना भूल जाना आसान है। सिर्फ़ 3(x²+1)² पर रुक जाना — केवल बाहरी — ग़लत है।
कहाँ उपयोग होता है
जब भी घातांकीय, लघुगणकीय, या त्रिकोणमितीय फलन अन्य व्यंजकों में लिपटे हों; भौतिकी में संबद्ध दरें; और न्यूरल नेटवर्क में बैकप्रोपेगेशन — यह सब श्रृंखला नियम है।
कहाँ से आया
यहीं लाइबनिट्स का dy/dx नोटेशन चमकता है — dy/dx = dy/du · du/dx को ऐसे पढ़ा जा सकता है जैसे भिन्न बस कट रहे हों।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
y=(3x+1)² का अवकलज क्या है?
- 2(3x+1)
- 6(3x+1)✓
- 6x
- 3(3x+1)²
अभ्यास
x=0 पर y=(2x+1)³ का अवकलज क्या है?
उत्तर: 6
- बाहरी: घन → 3(2x+1)² ; अंदरूनी: 2x+1 → 2
- y'=3(2x+1)²·2 = 6(2x+1)²
- x=0 रखें → 6·1 = 6
मुख्य बात: बाहरी अवकलज के बाद, हमेशा अंदरूनी अवकलज 2 से गुणा करें।
x=1 पर y=(x²+1)² का अवकलज क्या है?
उत्तर: 8
- बाहरी: वर्ग → 2(x²+1) ; अंदरूनी: x²+1 → 2x
- y'=2(x²+1)·2x = 4x(x²+1)
- x=1 रखें → 4·1·2 = 8
मुख्य बात: x⁴+2x²+1 तक फैलाकर अवकलन करने पर 4x³+4x मिलता है, x=1 पर 8 — मेल खाता है।
श्रृंखला नियम से y=(5x−2)⁴ का अवकलन करें।
उत्तर: undefined
- बाहरी: चौथी घात → 4(5x−2)³ ; अंदरूनी: 5x−2 → 5
- y'=4(5x−2)³·5 = 20(5x−2)³
मुख्य बात: अंदरूनी अवकलज (यहाँ, 5) से गुणा करना न भूलें।