वृत्त का समीकरण
“वृत्त का समीकरण है 'केंद्र से दूरी r', पाइथागोरस से लिखा हुआ।”
सूत्र
(x − a)² + (y − b)² = r²कैसे पढ़ें: केंद्र (a, b) से स्थिर दूरी r पर स्थित सभी बिंदु (x, y) मिलकर वृत्त बनाते हैं
- (a, b)
- — केंद्र के निर्देशांक
- r
- — त्रिज्या — केंद्र से वृत्त तक की दूरी
- (x, y)
- — वृत्त पर स्थित कोई भी बिंदु
शुरुआत
एक वृत्त है 'एक केंद्र से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का समुच्चय' — वृत्त का समीकरण इसी एक वाक्य को निर्देशांकों में लिखना है।
सरल शब्दों में
वे बिंदु (x,y) जिनकी केंद्र (a,b) से दूरी हमेशा r रहती है, वृत्त बनाते हैं। इस शर्त को समीकरण के रूप में लिखने पर (x−a)²+(y−b)²=r² मिलता है।
अंतर्ज्ञान
केंद्र से किसी बिंदु तक की दूरी क्षैतिज अंतर (x−a) और ऊर्ध्वाधर अंतर (y−b) से बने समकोण त्रिभुज का कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय से यह कर्ण-वर्ग (x−a)²+(y−b)² होता है, और इसे r² के बराबर रखना यह कहता है कि 'दूरी r है'।
कैसे बनता है
आपको बस दो चीज़ें चाहिए: केंद्र और त्रिज्या। यदि केंद्र मूलबिंदु (0,0) है, तो समीकरण सरल होकर x²+y²=r² बन जाता है। अंदर के चिह्नों पर ध्यान दें — केंद्र (2,−3) होने पर (x−2)²+(y+3)² मिलता है।
उदाहरण
(0,0) पर केंद्रित त्रिज्या 5 का वृत्त x²+y²=25 है। (3,4) रखकर देखें: 9+16=25 → सही, इसलिए (3,4) इस वृत्त पर स्थित है।
आम ग़लतफ़हमी
(x−a)²+(y−b)²=r² के दाईं ओर r² है, r नहीं। त्रिज्या-5 वाले वृत्त के दाईं ओर 25 होता है, 5 नहीं। और समीकरण के अंदर केंद्र के चिह्न उलटे दिखते हैं।
कहाँ उपयोग होता है
GPS स्थिति निर्धारण (वृत्तों का प्रतिच्छेदन), रडार की सीमा, टकराव का पता लगाना, कंप्यूटर ग्राफिक्स में वक्र — जहां भी 'केंद्र से एक स्थिर दूरी' मायने रखती है।
कहाँ से आया
विश्लेषणात्मक ज्यामिति — निर्देशांकों और समीकरणों से आकृतियों को समझना — देकार्त ने शुरू की थी। वृत्त का समीकरण 'गणना से ज्यामिति की समस्या हल करने' का एक प्रमुख उदाहरण है।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
(0,0) पर केंद्रित त्रिज्या 3 वाले वृत्त का समीकरण क्या है?
- x² + y² = 3
- x² + y² = 6
- x² + y² = 9✓
- (x−3)² + y² = 0
अभ्यास
(1,2) पर केंद्रित त्रिज्या 4 के वृत्त के लिए, दायां पक्ष (r²) क्या है?
उत्तर: 16
- दायां पक्ष त्रिज्या का वर्ग है
- r² = 4² = 16
मुख्य बात: दायां पक्ष r² है, r नहीं।
वृत्त x²+y²=25 पर, बिंदु (3, y) के लिए धनात्मक y ज्ञात करें।
उत्तर: 4
- 3² + y² = 25 → 9 + y² = 25
- y² = 16 → y = 4 (y>0)
मुख्य बात: सदस्यता जांचने और निर्देशांक ढूंढने के लिए किसी बिंदु को रखकर देखें।
(2,−3) पर केंद्रित त्रिज्या √5 के वृत्त के लिए, (x−2)²+(y+3)²=? का दायां पक्ष क्या है?
उत्तर: 5
- दायां पक्ष = r² = (√5)²
- = 5
मुख्य बात: एक अपरिमेय त्रिज्या भी एक साफ r² दे सकती है।
एक वृत्त के व्यास के दो सिरे (0,0) और (6,0) हैं। इसका केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करें।
उत्तर: undefined
- केंद्र मध्यबिंदु है: ((0+6)/2, 0) = (3,0)
- त्रिज्या व्यास का आधा है: 6/2 = 3
मुख्य बात: व्यास का मध्यबिंदु केंद्र है; व्यास का आधा त्रिज्या है।