बहुभुज के आंतरिक और बाह्य कोण
“बहुभुज के कोणों का योग पूरी तरह इस पर निर्भर है कि 'वह कितने त्रिभुजों में बँटता है'।”
सूत्र
(n − 2) × 180°कैसे पढ़ें: किसी n-भुज के सभी आंतरिक कोण जोड़ें तो (n−2) गुना 180° मिलता है
- n
- — बहुभुज की भुजाओं (या शीर्षों) की संख्या
- n − 2
- — बहुभुज जितने त्रिभुजों में बँटता है
- 180°
- — एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग
शुरुआत
बहुभुज चाहे कितना भी जटिल हो, उसके आंतरिक कोणों का योग सिर्फ़ एक संख्या से तय हो जाता है — भुजाओं की गिनती।
सरल शब्दों में
किसी n-भुज के आंतरिक कोण जोड़ें तो (n−2) × 180° मिलता है। और किसी उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है।
अंतर्ज्ञान
बहुभुज को त्रिभुजों में काटने के लिए एक शीर्ष से विकर्ण खींचें। एक n-भुज (n−2) त्रिभुजों में बँट जाता है। हर त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है, इसलिए पूरा आंतरिक योग 180° को (n−2) बार जोड़ने के बराबर है।
कैसे बनता है
① आंतरिक योग = त्रिभुजों की संख्या (n−2) × 180°। ② हर बाह्य कोण किसी शीर्ष पर लिया गया मोड़ है, इसलिए सबको जोड़ने पर ठीक एक पूरा चक्कर = 360° पूरा हो जाता है। यह 360° भुजाओं की संख्या चाहे जो हो, नहीं बदलता।
उदाहरण
एक पंचभुज (n=5) के आंतरिक कोणों का योग (5−2) × 180° = 3 × 180° = 540° है। अगर यह सम है, तो हर कोण 540° ÷ 5 = 108° होगा।
आम ग़लतफ़हमी
लोग मान लेते हैं कि बाह्य योग भुजाओं की संख्या के साथ बदलता है, पर किसी भी उत्तल बहुभुज के लिए यह हमेशा 360° होता है। साथ ही, (n−2) को (n−1) या n समझ लेना भी आसान चूक है।
कहाँ उपयोग होता है
टाइलिंग (टेसेलेशन), फ़ुटबॉल और वास्तुकला में कोणों की डिज़ाइनिंग, किसी सम बहुभुज का एक कोण निकालना — कोई भी डिज़ाइन जहाँ कोणों को फ़िट बैठना हो।
कहाँ से आया
यह यूक्लिड के इस बुनियादी तथ्य पर बना है कि त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, साथ ही बहुभुज को त्रिभुजों में काटने के विचार पर।
त्वरित जाँच
एक षट्भुज (n=6) के आंतरिक कोणों का योग क्या है?
- 540°
- 720°✓
- 900°
- 1080°
अभ्यास
एक अष्टभुज (n=8) के आंतरिक कोणों का योग, डिग्री में क्या है?
उत्तर: 1080
- (n−2) × 180° = (8−2) × 180°
- 6 × 180° = 1080°
मुख्य बात: बस n को सूत्र में डालें — एक अष्टभुज 6 त्रिभुजों के बराबर है।
एक सम पंचभुज का एक आंतरिक कोण, डिग्री में कितना होता है?
उत्तर: 108
- आंतरिक योग: (5−2) × 180° = 540°
- सम पंचभुज के पाँच बराबर कोण होते हैं: 540° ÷ 5 = 108°
मुख्य बात: किसी सम बहुभुज के लिए, आंतरिक योग को भुजाओं की संख्या से भाग दें।
एक सम 12-भुज का एक बाह्य कोण क्या है? पहले अपने नोटपैड पर लिखें कि बाह्य कोण हमेशा किसके बराबर जुड़ते हैं।
उत्तर: 30
- किसी उत्तल बहुभुज के बाह्य कोण हमेशा 360° तक जुड़ते हैं
- सम 12-भुज के बराबर बाह्य कोण होते हैं: 360° ÷ 12 = 30°
मुख्य बात: बाह्य कोण आसान होते हैं — वे हमेशा 360° तक जुड़ते हैं, बस गिनती से भाग दें।