समुच्चय और वेन आरेख
“संघ है 'दोनों को जोड़ें, फिर ओवरलैप को एक बार घटाएँ'।”
सूत्र
n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)कैसे पढ़ें: संघ का आकार दोनों समुच्चयों के आकार को जोड़कर, फिर ओवरलैप को एक बार घटाकर मिलता है
- A∪B
- — संघ (union) — A या B में मौजूद हर तत्व
- A∩B
- — प्रतिच्छेदन (intersection) — A और B दोनों में मौजूद तत्व
- n(A)
- — समुच्चय A में तत्वों की संख्या
शुरुआत
जब आप A और B को एक साथ गिनते हैं, तो बस जोड़ नहीं सकते — इससे ओवरलैप दो बार गिन लिया जाता है।
सरल शब्दों में
संघ का आकार है दोनों समुच्चयों के आकार जोड़ना, फिर ओवरलैप (प्रतिच्छेदन) को ठीक एक बार घटाना।
अंतर्ज्ञान
दो ओवरलैप होते वृत्तों का वेन आरेख सोचिए। अगर आप बस दोनों वृत्त जोड़ दें, तो बीच का ओवरलैप दो बार गिन लिया गया। इसे एक बार घटाएँ तो सही 'कुल मिलाकर' राशि मिलती है।
कैसे बनता है
n(A) से A को और n(B) से B को गिनना प्रतिच्छेदन को दोनों तरफ से एक-एक बार गिन लेता है — कुल मिलाकर दो बार। इसे सिर्फ एक बार रखने के लिए, n(A∩B) घटाते हैं।
उदाहरण
एक क्लास में, 18 छात्र फुटबॉल पसंद करते हैं, 12 बास्केटबॉल, और 5 दोनों, तो कम से कम एक पसंद करने वालों की संख्या है 18+12−5 = 25।
आम ग़लतफ़हमी
'दोनों' वाले समूह को छोड़ना या दो बार गिनना आसान है। ओवरलैप दो बार जुड़ जाता है, इसलिए इसे एक बार घटाना ज़रूरी है।
कहाँ उपयोग होता है
सर्वेक्षण की गिनती, डेटा छाँटना, प्रायिकता का जोड़-नियम, खोज फ़िल्टर (AND/OR) — जहाँ भी ओवरलैप करते समूहों को गिनना हो।
कहाँ से आया
1800 के दशक में कैंटर ने 'समुच्चय' को गणित की मूल भाषा बनाया, और जॉन वेन ने ओवरलैप को वृत्तों के रूप में दिखाना लोकप्रिय किया।
त्वरित जाँच
अगर n(A)=10, n(B)=7, और n(A∩B)=3, तो n(A∪B) क्या है?
- 14✓
- 17
- 20
- 3
अभ्यास
अगर n(A)=8, n(B)=6, और n(A∩B)=2, तो n(A∪B) निकालें।
उत्तर: 12
- सूत्र: n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)
- 8+6−2 = 12
मुख्य बात: ओवरलैप (प्रतिच्छेदन) को एक बार घटाना न भूलें।
30 छात्रों की एक क्लास में, 14 कुत्ता पालते हैं, 10 बिल्ली, और 4 दोनों। कितने कुत्ता या बिल्ली पालते हैं?
उत्तर: 20
- 'कुत्ता या बिल्ली' = संघ
- 14+10−4 = 20
मुख्य बात: 'या' का मतलब है संघ — 'दोनों' वाला ओवरलैप एक बार घटाएँ।
अगर n(A)=9, n(B)=5, और n(A∪B)=11, तो प्रतिच्छेदन n(A∩B) क्या है?
उत्तर: 3
- सूत्र को पलटें: n(A∩B)=n(A)+n(B)−n(A∪B)
- 9+5−11 = 3
मुख्य बात: उसी सूत्र को पलटकर आप प्रतिच्छेदन भी निकाल सकते हैं।
40 लोगों में से, 22 गणित पसंद करते हैं, 18 अंग्रेज़ी, और 8 दोनों। अपने नोटपैड पर निकालें कि कितने न तो गणित न ही अंग्रेज़ी पसंद करते हैं।
उत्तर: undefined
- कम से कम एक (संघ) = 22+18−8 = 32
- कोई भी नहीं = कुल − संघ = 40 − 32 = 8
मुख्य बात: कुल में से संघ घटाने पर दोनों वृत्तों के बाहर का 'कोई नहीं' क्षेत्र मिलता है।