कथन: सत्य या असत्य
“एक कथन और उसका विपरीत-सम साथ चलते हैं — विलोम नहीं।”
सूत्र
(p → q) ≡ (~q → ~p)कैसे पढ़ें: 'अगर p तो q' और उसका विपरीत-सम 'अगर q नहीं तो p नहीं' हमेशा एक ही सत्यता रखते हैं
- p → q
- — 'अगर p तो q' — एक सप्रतिबंध कथन (मूल कथन)
- ~p
- — p का निषेध — 'p नहीं'
- ≡
- — दोनों कथनों की सत्यता हमेशा एक जैसी होती है
शुरुआत
गणित में 'कथन (proposition)' कोई भावना या राय नहीं है — केवल वह वाक्य गिनती में आता है जो स्पष्ट रूप से सत्य या असत्य निकलता है।
सरल शब्दों में
कथन वह वाक्य है जिसे आप साफ-साफ सत्य या असत्य आंक सकें। 'अगर p तो q' जैसा सप्रतिबंध कथन हमेशा अपने विपरीत-सम के साथ एक ही सत्यता रखता है।
अंतर्ज्ञान
अगर 'बारिश होगी तो ज़मीन गीली होगी' सच है, तो उलटा 'अगर ज़मीन गीली नहीं है, तो बारिश नहीं हुई' भी सच होना चाहिए। यह वही तथ्य है, बस दूसरी तरफ से कहा गया, इसलिए दोनों की सत्यता साथ चलती है।
कैसे बनता है
एक कथन के ठीक दो मूल्य होते हैं, सत्य या असत्य। निषेध (~) उस मूल्य को पलट देता है। सप्रतिबंध कथन 'p→q' में, p और q दोनों को निषेध करके दिशा पलटने से विपरीत-सम '~q→~p' मिलता है, और मूल कथन तथा उसका विपरीत-सम हमेशा एक ही सत्यता रखते हैं।
उदाहरण
'अगर x=2 तो x²=4' सच है। इसका विपरीत-सम 'अगर x²≠4 तो x≠2' भी सच है। लेकिन इसका विलोम 'अगर x²=4 तो x=2' असत्य है, क्योंकि x=−2 एक प्रति-उदाहरण है।
आम ग़लतफ़हमी
किसी सच्चे कथन से उसका विलोम सच नहीं हो जाता। 'x=2 → x²=4' सच है, पर विलोम 'x²=4 → x=2' असत्य है (x=−2)। जो सत्यता बाँटता है वह विपरीत-सम है, विलोम नहीं।
कहाँ उपयोग होता है
गणित का हर प्रमाण और तार्किक तर्क, प्रोग्राम की शर्तें (if), कानूनी और अनुबंध के खंडों को पढ़ना — जहाँ भी 'सत्य या असत्य' तौला जाता है।
कहाँ से आया
कथनों को सत्य-या-असत्य वस्तु मानकर कठोरता से देखने वाला तर्कशास्त्र अरस्तू तक जाता है, और 1800 के दशक में बूल ने इसे बीजगणित जैसे गणना योग्य रूप में ढाला।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
इनमें से कौन सा एक 'कथन (proposition)' है?
- 3 एक सम संख्या है✓
- यह पेंटिंग सुंदर है
- खिड़की बंद करो
- x+1
अभ्यास
इनमें से कौन सा एक 'कथन' है — जिसे आप सत्य या असत्य आंक सकें?
उत्तर: 0
- कथन = ऐसा वाक्य जिसकी सत्यता निश्चित हो
- '7 एक अभाज्य संख्या है' एक सच्चा कथन है
- राय, प्रश्न, और अकेले शब्दों को सत्य या असत्य नहीं आंका जा सकता, इसलिए ये कथन नहीं हैं
मुख्य बात: कथन को सत्य/असत्य आंका जाना चाहिए — राय, आदेश, और प्रश्न इसमें शामिल नहीं।
कथन '5, 3 से बड़ा है' सत्य है या असत्य? फिर अपने नोटपैड पर इसका निषेध लिखें।
उत्तर: undefined
- '5, 3 से बड़ा है' सत्य है
- निषेध: '5, 3 से बड़ा नहीं है' → यानी '5 ≤ 3', जो असत्य है
- निषेध मूल कथन की सत्यता को पलट देता है
मुख्य बात: निषेध सत्य को असत्य और असत्य को सत्य में बदल देता है।
कथन 'अगर यह समबाहु है, तो यह समद्विबाहु है' सत्य है। इनमें से कौन सा भी सत्य होना ज़रूरी है?
उत्तर: 1
- अगर मूल कथन सत्य है, तो उसका विपरीत-सम भी सत्य होना चाहिए
- विपरीत-सम: 'अगर यह समद्विबाहु नहीं है, तो यह समबाहु नहीं है' → सत्य
- विलोम 'अगर समद्विबाहु तो समबाहु' असत्य हो सकता है
मुख्य बात: केवल विपरीत-सम की सत्यता की गारंटी होती है — विलोम की जाँच अलग से करनी होगी।
क्या 'अगर x²=9 तो x=3' सत्य है? अगर नहीं, तो अपने नोटपैड पर एक प्रति-उदाहरण लिखें।
उत्तर: undefined
- अगर x²=9 तो x=3 या x=−3
- x=−3 से x²=9 मिलता है पर x≠3 → एक प्रति-उदाहरण मौजूद है
- तो यह कथन असत्य है
मुख्य बात: एक अकेला प्रति-उदाहरण किसी कथन को गिराने के लिए काफी है।