डॉट व क्रॉस प्रोडक्ट (Dot & Cross Products)
“डॉट प्रोडक्ट है 'कितना एक दिशा में?' (एक संख्या); क्रॉस प्रोडक्ट है 'किसके लंबवत?' (एक सदिश)।”
सूत्र
a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cosθ; |a×b| = |a||b|sinθकैसे पढ़ें: डॉट प्रोडक्ट एक संख्या के रूप में मापता है कि दो सदिश (vectors) कितने एक दिशा में हैं; क्रॉस प्रोडक्ट दोनों के लंबवत (perpendicular) एक नया सदिश बनाता है
- a·b
- — डॉट प्रोडक्ट — परिणाम एक संख्या (scalar) है, 'कितना एक दिशा में?'
- a×b
- — क्रॉस प्रोडक्ट — परिणाम एक सदिश है, 'दोनों के लंबवत दिशा'
- θ
- — दोनों सदिशों के बीच का कोण
शुरुआत
सदिशों को गुणा करने के दो तरीके हैं — एक पूछता है 'ये कितने एक ही दिशा में इशारा करते हैं?' (डॉट प्रोडक्ट), दूसरा पूछता है 'दोनों के लंबवत कौन-सी दिशा है?' (क्रॉस प्रोडक्ट)।
सरल शब्दों में
डॉट प्रोडक्ट a·b एक अकेली संख्या है जो मापती है कि दो सदिश कितने एक दिशा में हैं। क्रॉस प्रोडक्ट a×b एक नया सदिश है जो दोनों सदिशों वाले तल (plane) के लंबवत खड़ा होता है।
अंतर्ज्ञान
डॉट प्रोडक्ट: जैसे किसी टॉर्च (a) की परछाईं दीवार (दिशा b) पर कितनी लंबी पड़ती है — एक दिशा में होने पर बड़ी, समकोण पर 0, विपरीत होने पर negative। क्रॉस प्रोडक्ट: दरवाज़ा धकेलने पर जो धुरी (axle) लंबवत उठती है, उसकी तरह — a और b के तल से सीधा बाहर निकलता एक तीर, जिसकी लंबाई दोनों सदिशों से बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है।
कैसे बनता है
डॉट प्रोडक्ट मेल खाते components को गुणा करके जोड़ता है: a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃, जो |a||b|cosθ के बराबर है — cosine 'एक दिशा में होने' को दर्शाता है। क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण (magnitude) |a||b|sinθ है, जो 'लंबवत हिस्से' को दर्शाता है, और इसकी दिशा right-hand rule से मिलती है (दाएँ हाथ की उँगलियाँ a से b की ओर मोड़ें, अँगूठा a×b की दिशा दिखाएगा)।
उदाहरण
a=(1,0,0), b=(0,1,0) के लिए: a·b = 1·0+0·1+0·0 = 0 (लंबवत, इसलिए 0)। क्रॉस प्रोडक्ट (0,0,1) है — z-अक्ष, जो x और y दोनों के लंबवत है, परिमाण |a||b|sin90°=1। एक 2-D डॉट का उदाहरण: (3,4)·(2,1) = 6+4 = 10।
आम ग़लतफ़हमी
दोनों को गड़बड़ाना आसान है — डॉट प्रोडक्ट का परिणाम एक दिशाहीन संख्या (scalar) है, जबकि क्रॉस प्रोडक्ट का परिणाम एक तीर (vector) है। साथ ही, डॉट प्रोडक्ट 0 का मतलब 'लंबवत', जबकि क्रॉस प्रोडक्ट 0 का मतलब 'parallel (एक दिशा में)' है। ध्यान दें ये विपरीत शर्तें हैं।
कहाँ उपयोग होता है
डॉट: कार्य (work, बल · दूरी), प्रोजेक्शन और समानता (search व recommendation में cosine similarity), प्रकाश की चमक। क्रॉस: torque और angular momentum, normal vectors (3-D ग्राफ़िक्स में सतह की दिशा), चुंबकीय बल F=qv×B — भौतिकी और कंप्यूटर ग्राफ़िक्स की रीढ़।
कहाँ से आया
यह विचार 1800 के दशक में हैमिल्टन के quaternions से फूटा; गिब्स और हेविसाइड ने इसे परिष्कृत करते हुए सदिशों के लिए आज के अलग डॉट और क्रॉस प्रोडक्ट में बाँट दिया।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
(1,2,3)·(4,0,0) क्या है?
- 4✓
- 6
- 0
- 9
अभ्यास
डॉट प्रोडक्ट (3,4)·(1,2) निकालें।
उत्तर: 11
- मेल खाते components को गुणा करके जोड़ें: 3·1 + 4·2
- = 3 + 8 = 11
मुख्य बात: डॉट प्रोडक्ट = componentwise गुणनफलों का योग; परिणाम एक अकेली संख्या है।
डॉट प्रोडक्ट (2,0,0)·(0,5,0) निकालें। परिणाम का ज्यामितीय मतलब क्या है?
उत्तर: 0
- 2·0 + 0·5 + 0·0 = 0
- डॉट प्रोडक्ट 0 → दोनों सदिश लंबवत हैं
मुख्य बात: डॉट प्रोडक्ट 0 = लंबवत। x-अक्ष और y-अक्ष समकोण पर हैं, इसलिए इनका डॉट प्रोडक्ट 0 है।
|a|=2, |b|=3 समकोण (θ=90°) पर हों, तो क्रॉस-प्रोडक्ट का परिमाण |a×b| निकालें।
उत्तर: 6
- |a×b| = |a||b|sinθ = 2·3·sin90°
- sin90°=1 → 2·3·1 = 6
मुख्य बात: क्रॉस-प्रोडक्ट का परिमाण = दोनों सदिशों से बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल।
cosθ और sinθ का उपयोग करके समझाएँ कि डॉट प्रोडक्ट 0 का मतलब 'लंबवत' और क्रॉस प्रोडक्ट 0 का मतलब 'parallel' क्यों है।
उत्तर: undefined
- डॉट = |a||b|cosθ; θ=90° पर, cos90°=0 → डॉट 0 है (लंबवत)
- क्रॉस का परिमाण = |a||b|sinθ; θ=0° पर, sin0°=0 → क्रॉस 0 है (parallel)
- Cosine 'एक दिशा में होना' मापता है, sine 'फैलाव' मापता है — विपरीत शर्तें
मुख्य बात: डॉट cos (एक दिशा) उपयोग करता है, क्रॉस sin (लंबवत हिस्सा) उपयोग करता है — शून्य होने की शर्तें विपरीत हैं।