आयत और त्रिभुज का क्षेत्रफल
“क्षेत्रफल अंदर के वर्ग गिनता है — आयत चौड़ाई×ऊँचाई है, त्रिभुज उसका आधा है।”
सूत्र
▭ S = a × b △ S = c × h ÷ 2कैसे पढ़ें: आयत का क्षेत्रफल चौड़ाई गुणा ऊँचाई है; त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार गुणा ऊँचाई भाग 2 है
- a
- — आयत की चौड़ाई
- b
- — आयत की ऊँचाई
- c
- — त्रिभुज का आधार
- h
- — त्रिभुज की ऊँचाई — आधार से शीर्ष तक की सीधी दूरी
शुरुआत
फ़र्श पर कितनी टाइलें लगेंगी? क्षेत्रफल मापता है कि कोई आकृति कितनी सपाट जगह घेरती है।
सरल शब्दों में
कोई आकृति कितनी सपाट जगह घेरती है, यह गिनकर कि उसके अंदर कितने इकाई वर्ग समा सकते हैं।
अंतर्ज्ञान
आयत को 1 सेमी के वर्गों से भरें: हर पंक्ति में 'चौड़ाई' जितने वर्ग होते हैं, और ऐसी 'ऊँचाई' जितनी पंक्तियाँ होती हैं। इसलिए क्षेत्रफल = चौड़ाई × ऊँचाई। त्रिभुज ठीक उतने ही बड़े आयत का आधा होता है, इसलिए यह आधार × ऊँचाई ÷ 2 है।
कैसे बनता है
आयत: चौड़ाई को ऊँचाई से गुणा करें। त्रिभुज: आधार को ऊँचाई (उस आधार से सीधे ऊपर) से गुणा करें, फिर 2 से भाग दें। ऊँचाई सीधी-ऊपर की दूरी है, तिरछी भुजा नहीं।
उदाहरण
5 गुणा 3 का आयत: 5 × 3 = 15। आधार 6 और ऊँचाई 4 का त्रिभुज: 6 × 4 ÷ 2 = 12।
आम ग़लतफ़हमी
त्रिभुज के लिए 2 से भाग देना मत भूलें। 6 × 4 = 24 आयत है; त्रिभुज उसका आधा, यानी 12 है।
कहाँ उपयोग होता है
फ़र्श और दीवारों को मापना, पेंट, टाइल या घास की ज़रूरत निकालना, ज़मीन नापना।
कहाँ से आया
प्राचीन मिस्रवासी नील नदी में बाढ़ के बाद खेतों को फिर से नापने और कर तय करने के लिए क्षेत्रफल में माहिर हुए थे।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
6 चौड़ी और 4 ऊँची आयत का क्षेत्रफल क्या है?
- 10
- 20
- 24✓
- 48
अभ्यास
7 गुणा 2 के आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
उत्तर: 14
- क्षेत्रफल = चौड़ाई × ऊँचाई
- 7 × 2 = 14
मुख्य बात: आयत का क्षेत्रफल = चौड़ाई × ऊँचाई।
आधार 10 और ऊँचाई 4 वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
उत्तर: 20
- क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई ÷ 2
- 10 × 4 = 40
- 40 ÷ 2 = 20
मुख्य बात: त्रिभुज अपने आयत का आधा होता है।
भुजा 5 वाले वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
उत्तर: 25
- वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
- 5 × 5 = 25
मुख्य बात: वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा।