数と演算conceptfoundations
絶対値
“絶対値は符号を外して「0までの距離」だけを残す。”
数式
|a| = a (a ≥ 0), |a| = −a (a < 0)読み方: 絶対値とは、ある数が0からどれだけ離れているか——その距離を表す
- |a|
- — aの絶対値——0からの距離
- a ≥ 0
- — aが0または正のときは、そのままにする
- −a (a < 0)
- — aが負のときは、符号を外して正にする
きっかけ
−3と3は符号が逆だけど、0からの距離は同じ——その距離が絶対値です。
やさしく言うと
ある数が0からどれだけ離れているかを表します。向き（符号）を捨てて、距離だけを残します。
直感
数直線上でその数までの長さを定規で測るイメージです。左に行っても右に行っても距離が負になることはないので、絶対値は常に0以上になります。
どう作られるか
ルールは2つだけ——0または正ならそのまま、負なら先頭の−を外して正にする。だから|−3|=3、|3|=3、|0|=0。
例
|−4|を考えます。−4は0から左に4歩の位置にあります。距離は4なので、|−4| = 4です。
よくある誤解
|−a| = a を機械的に暗記してはいけません——aそのものが負の場合があるからです。絶対値は「符号を消す」ではなく「距離を測る」と考えましょう。
どこで使うか
2点間の距離、誤差の大きさ、速さ（速度の絶対値）——向きは関係なく大きさだけが問題になる場面ならどこでも使われます。
どこから来たか
縦棒の記法 | | は19世紀の数学者ワイエルシュトラスが導入したもので、名前は「大きさ」を意味するラテン語に由来します。
前提概念
確認問題
|−7|はいくつですか？
- −7
- 0
- 7✓
- 14
練習
|−9|はいくつですか？
答え: 9
解き方:
- −9は0から9歩の位置にある
- → |−9| = 9
ポイント: 負の数なら、符号を外すだけでいい。
|6| + |−4|はいくつですか？
答え: 10
解き方:
- |6| = 6、|−4| = 4
- 6 + 4 = 10
ポイント: 先にそれぞれの絶対値を求めてから計算する。
|−3| − |−1|はいくつですか？
答え: 2
解き方:
- |−3| = 3、|−1| = 1
- 3 − 1 = 2
ポイント: 絶対値は常に0以上——まず正にしてから計算する。
|a| = 5となるaの値をすべて求めなさい。
答え: undefined
解き方:
- 0から距離5の点は2つある
- 右に5、左に−5
- a = 5 または a = −5
ポイント: 2つの数が同じ絶対値を持つ——大きさが同じで符号が逆。