数と演算
21 個の概念
位取り
数字の値は、それがどの位（くらい）にあるかで決まります。
分数とは
全体をいくつの等しい部分に分けたか（分母）と、そのうちいくつ持っているか（分子）を表す数です。
小数とは何か
点(小数点)の右側に位を増やしていくことで、1より小さい部分を書き表す数です。
a/c ± b/c = (a ± b)/c分数の足し算・引き算
切れの大きさが同じ（分母が同じ）なら、切れの数（分子）を足したり引いたりするだけです。
かけ算とわり算
かけ算は同じ数を何度も足すこと、わり算は等しく分けたり、いくつのまとまりがあるかを数えたりすることです。
a : b = a ÷ b比と割合
比は2つの量を『これ対あれ』として比べるもの。割合は割り算でそれをひとつの数に変える。
p = (a ÷ b) × 100パーセント
全体を100としたとき、部分がどれだけにあたるかを表す数です。記号 % は「100のうち」を意味します。
N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ素因数分解
ある数を、素数だけの積に分解したもの — 2, 3, 5, 7…など。
数直線上の整数
正の整数、0、負の整数を1本の直線上に順番に並べたもの。右へ行くほど大きく、左へ行くほど小さい。
|a| = a (a ≥ 0), |a| = −a (a < 0)絶対値
ある数が0からどれだけ離れているかを表します。向き（符号）を捨てて、距離だけを残します。
(+)×(+)=(+), (−)×(−)=(+), (+)×(−)=(−)有理数の四則計算
整数や分数の足し算・引き算・掛け算・割り算のルール。カギは、まず符号を決めてから、大きさを計算すること。
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ指数法則
べき乗とは同じ数を何回もかけたものです。それらをかけたり割ったりするときは、指数を足したり引いたりするだけです。
√a = b ⇔ b² = a (a ≥ 0, b ≥ 0)平方根
2乗して a になる数が a の平方根。√a はそのうち0または正のものを指します。
無理数と実数
分数（整数/整数）で書ける数は有理数、書けない数は無理数。両方合わせて実数になります。
0.ddd… = d/9, 0.abab… = ab/99循環小数
小数点以下、同じ数字の並びが永遠に繰り返される小数。これは常に分数に戻すことができる。
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b最大公約数と最小公倍数
最大公約数（GCD）は両方を割り切る最大の数、最小公倍数（LCM）は両方の倍数になる最小の数——それらの倍数が最初に重なる場所です。
i² = −1, z = a + bi複素数
2乗すると−1になる新しい数iを導入すると、どんな数もa+biという形——実部aと虚部biの和——で表せます。それが複素数です。
(G, ∗): ① a∗b ∈ G ② (a∗b)∗c = a∗(b∗c) ③ a∗e = e∗a = a ④ a∗a⁻¹ = e群——対称性の言語
群とは集合と演算の組で、演算が4つの規則に従うものです：(1)結果が外に漏れない（閉性）、(2)グループ分けは関係ない（結合律）、(3)何もしない単位元がある、(4)すべての元にそれを打ち消す逆元がある。
a ≡ b (mod n) ⟺ n | (a − b)合同式
合同式とは、ある数 n に達すると 0 に巻き戻る計算のことです。二つの数は、n で割った余りが等しいとき「合同」といい、a ≡ b (mod n) と書きます。大事なのは余りだけです。
e^(iθ) = cos θ + i sin θ, e^(iπ) + 1 = 0複素平面とオイラーの公式
複素数a+biを平面上の点（または矢印）として見ると、複素平面が得られます。オイラーの公式e^(iθ)=cos θ+i sin θは、複素指数e^(iθ)が角度θだけ回転した単位円上の点であることを表します。つまり、虚数の指数は回転を意味します。
|ℕ| = |ℤ| = |ℚ| = ℵ₀ < |ℝ|可算無限
無限集合の要素を1,2,3,…と一つも漏らさず番号付けできるなら、それは「可算無限」です。自然数・整数・有理数はすべて当てはまります。ところが実数は原理的にそうやって番号を振ることができません——実数はより大きな無限です。
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