複素数
“iは「90°の回転」であり、2回回転すると−1に着地する。”
数式
i² = −1, z = a + bi読み方: 2乗すると−1になる数iを導入し、実部aと虚部bからzを作る
- i
- — 虚数単位——2乗すると−1になる数
- a
- — 実部——zの「実」の部分
- bi
- — 虚部——実数bにiをかけたもの
きっかけ
「どんな数を2乗しても負にはならない」という壁に突き当たった数学者たちは、2乗すると負になる数をただ発明した——それが虚数単位iだ。
やさしく言うと
2乗すると−1になる新しい数iを導入すると、どんな数もa+biという形——実部aと虚部biの和——で表せます。それが複素数です。
直感
実数は1次元の数直線上に住んでいます。複素数はもう1本の軸（虚軸）を加え、2次元の平面に広がります。iをかけると点は平面上で90°回転します——だからiを2回かける（180°の回転）と向きが反転し、−1に着地します。
どう作られるか
複素数z=a+biは実部aと虚部bの2つの要素からなります。加法は実部と虚部をそれぞれ別々に足し、乗法は分配法則で計算し、i²が現れたらすべて−1に置き換えます。このi²=−1という1つのルールがすべての計算を動かします。
例
(2+i)(2−i) = 2² − (i)² = 4 − i² = 4 − (−1) = 4 + 1 = 5。虚部が消えて、きれいな実数が残ります。
よくある誤解
iは「実在しない架空の数」ではありません。「虚数」という名前は誤解を招きますが、複素数は電子工学や量子力学で実在する物理量を扱うために欠かせない道具です。
どこで使うか
交流や信号処理、量子力学、流体・電磁シミュレーション、フラクタル——回転と波が絡み合う場面で複素数は輝きます。
どこから来たか
1500年代、カルダノは3次方程式を解く中で負の数の平方根に出会いました。長らく「架空のもの」として退けられていましたが、オイラーとガウスを通じて正当な数として認められるようになりました。
前提概念
確認問題
i²はいくつですか？
- 1
- −1✓
- i
- −i
練習
(3 + 2i) + (1 + 4i)の実部を求めなさい。
答え: 4
- 実部を足す：3 + 1 = 4
- （虚部は2+4=6i）
ポイント: 複素数の足し算は実部と虚部を別々に足す。
i⁴の値を求めなさい。
答え: 1
- i⁴ = (i²)² = (−1)²
- = 1
ポイント: iのべき乗は4段階ごとに繰り返す。
(2 + i)(2 − i)の値を求めなさい。
答え: 5
- 平方の差：2² − i²
- = 4 − (−1) = 5
ポイント: 複素数とその共役の積は実数になる。
i³を求め、手順を示しなさい。
答え: undefined
- i³ = i²·i
- = (−1)·i = −i
ポイント: i²=−1という1つのルールがiのすべてのべき乗を解決する。