数と演算conceptfoundations
平方根
“平方根とは、2乗を『元に戻した』数のこと。”
数式
√a = b ⇔ b² = a (a ≥ 0, b ≥ 0)読み方: 2乗すると a になる0以上の数 b が平方根 √a である
- √a
- — 2乗すると a になる0以上の数（正の平方根）
- b² = a
- — b を2乗すると元の数 a に戻る
- √
- — 根号——『2乗を元に戻す』ことを表す記号
きっかけ
平方根は2乗の逆再生——『何を2乗したらこの数になるか』を問いかけます。
やさしく言うと
2乗して a になる数が a の平方根。√a はそのうち0または正のものを指します。
直感
面積 a の正方形を思い浮かべてください。1辺の長さがちょうど √a です。面積9の正方形の1辺は3なので、√9 = 3。
どう作られるか
2乗（□²）は順方向の操作、根を取る（√□）は逆方向。互いに逆の操作なので打ち消し合い、(√a)² = a、√(b²) = b（b≥0のとき）が成り立ちます。
例
√9 を考えます。3² = 9 なので √9 = 3——面積9の正方形の1辺が3であることと同じです。
よくある誤解
√9 は3であって ±3 ではありません。根号 √ は0以上の値だけを指します。2乗して9になる数は2つ（±3）ありますが、記号 √9 はただ1つの値3を意味します。
どこで使うか
三平方の定理での距離の計算、図形の辺の長さ、標準偏差、多くの物理の公式——2乗を元に戻す必要があるあらゆる場面で。
どこから来たか
根号 √ はラテン語 radix（『根』）の頭文字 r を図案化したものとされ、数の『根』を掘り出すという感覚を伝えています。
前提概念
確認問題
√16 はいくつ？
- 2
- 4✓
- 8
- 256
練習
√36 はいくつ？
答え: 6
解き方:
- 2乗すると36になる0以上の数を探す
- 6² = 36 → √36 = 6
ポイント: 2乗するとその数になる値を見つける。
√81 はいくつ？
答え: 9
解き方:
- 9² = 81
- → √81 = 9
ポイント: 2乗の値を知っていれば平方根も見えてくる。
(√7)² はいくつ？
答え: 7
解き方:
- 2乗と平方根は互いに打ち消し合う
- (√7)² = 7
ポイント: 平方根を2乗すると、中の数がそのまま戻ってくる。
√10 はどの2つの整数の間にある？理由も書け。
答え: undefined
解き方:
- 3² = 9、4² = 16
- 9 < 10 < 16 なので 3 < √10 < 4
- √10 は3と4の間（約3.16）
ポイント: 近くの平方数を使って根の値を見積もる。