指数法則
“かけ算なら指数を足し、割り算なら指数を引きます。”
数式
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ読み方: 同じ底のべき乗をかけると、指数を足す
- aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- — 同じ底をかける → 指数を足す
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- — べき乗のべき乗 → 指数をかける
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- — 同じ底で割る → 指数を引く
きっかけ
指数法則は覚えることが多そうに見えますが、実はたった1つのアイデア——繰り返しのかけ算を数えることです。
やさしく言うと
べき乗とは同じ数を何回もかけたものです。それらをかけたり割ったりするときは、指数を足したり引いたりするだけです。
直感
aᵐはaをm回かけたもの、aⁿはaをn回かけたものです。それらをかけると、aは合計m+n回かけられることになるので、指数はm+n。「何回か」を数えているだけだから、指数が足し算になるのです。
どう作られるか
3つの規則ですべてカバーできます——かけ算なら指数を足す(aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ)、べき乗のべき乗なら指数をかける((aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ)、割り算なら指数を引く(aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ)。
例
2³ × 2²を全部書き出すと(2×2×2) × (2×2)で2が5個。だから2⁵ = 32で、指数の3+2=5とぴったり一致します。
よくある誤解
aᵐ · aⁿをaᵐˣⁿと間違えやすいです。かけ算は指数を足すのであって、指数をかけるのはべき乗のべき乗、つまり(aᵐ)ⁿのときだけです。
どこで使うか
巨大な数や極小な数を表す科学的記数法（10のべき乗）、面積や体積、2進法でのコンピュータのメモリ容量(2¹⁰=1024)——日常的に使われています。
どこから来たか
aⁿというべき乗の記法はデカルトによって広まり、指数法則はその後、有理数・負・実数の指数にも自然に拡張されました。
前提概念
確認問題
2³ × 2⁴を1つのべき乗で表しなさい。
- 2⁷✓
- 2¹²
- 2¹
- 4⁷
練習
3² × 3³を計算しなさい。
答え: 243
- 指数を足す：3² × 3³ = 3⁵
- 3⁵ = 243
ポイント: 同じ底の積は指数を足します。
(2³)²を計算しなさい。
答え: 64
- 指数をかける：(2³)² = 2⁶
- 2⁶ = 64
ポイント: べき乗のべき乗は指数をかけます。
5⁴ ÷ 5²を計算しなさい。
答え: 25
- 指数を引く：5⁴ ÷ 5² = 5²
- 5² = 25
ポイント: 同じ底の商は指数を引きます。
a⁵ · a³を1つのべき乗で表しなさい。
答え: undefined
- 同じ底なので指数を足す
- 5 + 3 = 8
- a⁵ · a³ = a⁸
ポイント: 指数法則は底が一致するときにしか使えません。