数と演算methodfoundations
有理数の四則計算
“まず符号を決めてから、大きさを考えよう。”
数式
(+)×(+)=(+), (−)×(−)=(+), (+)×(−)=(−)読み方: 同符号どうしをかけると正、異符号どうしをかけると負になる
- (+)×(+), (−)×(−)
- — 同じ符号の2数の積 → 正
- (+)×(−), (−)×(+)
- — 異なる符号の2数の積 → 負
- ÷
- — 割り算も掛け算とまったく同じ符号のルールに従う
きっかけ
有理数の四則計算の8割はたったひとつのこと — 符号のルール。なぜ負×負が正になるのか？
やさしく言うと
整数や分数の足し算・引き算・掛け算・割り算のルール。カギは、まず符号を決めてから、大きさを計算すること。
直感
『反対の反対は元通り』と考えよう。負の数をかけると向きが反転する — 2回反転すれば元の向きに戻る（正）。だから(−)×(−)=(+)になる。
どう作られるか
×と÷では、まず符号を決める：同符号なら+、異符号なら−。+と−では『負を引くのは足すこと』と覚える：a−(−b) = a+b。
例
(−2) × (−6) ÷ 4を考える。符号：(−)×(−)=(+)。大きさ：2×6÷4 = 12÷4 = 3。答えは+3。
よくある誤解
(−2)²と−2²は違う。(−2)²=(−2)×(−2)=4だが、−2²は2²の前にマイナスがついたもので−4。括弧があるかどうかで、符号まで2乗されるかが決まる。
どこで使うか
気温の変化、預金と引き出し、ゲームのスコアの増減 — 増える・減るが混ざる現実の計算はすべて有理数の四則計算。
どこから来たか
負の数を実在する数として受け入れるには長い時間がかかったが、符号のルールが定まったことで方程式や代数全体がスムーズに動き始めた。
前提概念
確認問題
(−2) × 3はいくつ？
- −6✓
- 6
- −5
- 5
練習
(−5) + (−3)を計算しよう。
答え: -8
解き方:
- 同符号の足し算：大きさを足して、符号はそのまま
- 5 + 3 = 8、符号は−
- → −8
ポイント: 負と負を足すと、より深い負になる。
(−7) − (−2)を計算しよう。
答え: -5
解き方:
- 負を引くのは足すこと：−7 − (−2) = −7 + 2
- = −5
ポイント: 負を引くと足し算に反転する。
(−2) × (−6) ÷ 4を計算しよう。
答え: 3
解き方:
- 符号：(−)×(−)=(+)
- 大きさ：2 × 6 ÷ 4 = 12 ÷ 4 = 3
- → +3
ポイント: まず符号を決めてから、大きさを計算する。
(−2)³を計算し、なぜ負になるのか書いてみよう。
答え: undefined
解き方:
- (−2) × (−2) × (−2)
- = 4 × (−2) = −8
- 負の数を奇数回かけると負のまま残る
ポイント: 負の数が偶数個なら正、奇数個なら負になる。