数学の概念
数式を一つずつ——やさしい意味、直感、そしてどこから来たのか。
数と演算
21 個の概念位取り
数字の値は、それがどの位（くらい）にあるかで決まります。
分数とは
全体をいくつの等しい部分に分けたか（分母）と、そのうちいくつ持っているか（分子）を表す数です。
小数とは何か
点(小数点)の右側に位を増やしていくことで、1より小さい部分を書き表す数です。
a/c ± b/c = (a ± b)/c分数の足し算・引き算
切れの大きさが同じ（分母が同じ）なら、切れの数（分子）を足したり引いたりするだけです。
かけ算とわり算
かけ算は同じ数を何度も足すこと、わり算は等しく分けたり、いくつのまとまりがあるかを数えたりすることです。
a : b = a ÷ b比と割合
比は2つの量を『これ対あれ』として比べるもの。割合は割り算でそれをひとつの数に変える。
p = (a ÷ b) × 100パーセント
全体を100としたとき、部分がどれだけにあたるかを表す数です。記号 % は「100のうち」を意味します。
N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ素因数分解
ある数を、素数だけの積に分解したもの — 2, 3, 5, 7…など。
数直線上の整数
正の整数、0、負の整数を1本の直線上に順番に並べたもの。右へ行くほど大きく、左へ行くほど小さい。
|a| = a (a ≥ 0), |a| = −a (a < 0)絶対値
ある数が0からどれだけ離れているかを表します。向き（符号）を捨てて、距離だけを残します。
(+)×(+)=(+), (−)×(−)=(+), (+)×(−)=(−)有理数の四則計算
整数や分数の足し算・引き算・掛け算・割り算のルール。カギは、まず符号を決めてから、大きさを計算すること。
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ指数法則
べき乗とは同じ数を何回もかけたものです。それらをかけたり割ったりするときは、指数を足したり引いたりするだけです。
√a = b ⇔ b² = a (a ≥ 0, b ≥ 0)平方根
2乗して a になる数が a の平方根。√a はそのうち0または正のものを指します。
無理数と実数
分数（整数/整数）で書ける数は有理数、書けない数は無理数。両方合わせて実数になります。
0.ddd… = d/9, 0.abab… = ab/99循環小数
小数点以下、同じ数字の並びが永遠に繰り返される小数。これは常に分数に戻すことができる。
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b最大公約数と最小公倍数
最大公約数（GCD）は両方を割り切る最大の数、最小公倍数（LCM）は両方の倍数になる最小の数——それらの倍数が最初に重なる場所です。
i² = −1, z = a + bi複素数
2乗すると−1になる新しい数iを導入すると、どんな数もa+biという形——実部aと虚部biの和——で表せます。それが複素数です。
(G, ∗): ① a∗b ∈ G ② (a∗b)∗c = a∗(b∗c) ③ a∗e = e∗a = a ④ a∗a⁻¹ = e群——対称性の言語
群とは集合と演算の組で、演算が4つの規則に従うものです：(1)結果が外に漏れない（閉性）、(2)グループ分けは関係ない（結合律）、(3)何もしない単位元がある、(4)すべての元にそれを打ち消す逆元がある。
a ≡ b (mod n) ⟺ n | (a − b)合同式
合同式とは、ある数 n に達すると 0 に巻き戻る計算のことです。二つの数は、n で割った余りが等しいとき「合同」といい、a ≡ b (mod n) と書きます。大事なのは余りだけです。
e^(iθ) = cos θ + i sin θ, e^(iπ) + 1 = 0複素平面とオイラーの公式
複素数a+biを平面上の点（または矢印）として見ると、複素平面が得られます。オイラーの公式e^(iθ)=cos θ+i sin θは、複素指数e^(iθ)が角度θだけ回転した単位円上の点であることを表します。つまり、虚数の指数は回転を意味します。
|ℕ| = |ℤ| = |ℚ| = ℵ₀ < |ℝ|可算無限
無限集合の要素を1,2,3,…と一つも漏らさず番号付けできるなら、それは「可算無限」です。自然数・整数・有理数はすべて当てはまります。ところが実数は原理的にそうやって番号を振ることができません——実数はより大きな無限です。
代数
18 個の概念2x + 3変数と式
『ある数を2倍して3を足す』を、文字 x を使って 2x+3 と短く書いたもの。
ax + b = 0 → x = −b/a1次方程式
xがある1つの値のときだけ成り立つ等式。その値を見つけることが「方程式を解く」ことです。
a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂連立一次方程式
2つの未知数を同時に満たす、ただ一組の (x, y) を見つけること。答えを1点に絞るには2本の方程式が必要です。
ax + b > 01次不等式
xがある値より大きい、または小さいという主張。答えは1つの数ではなく「範囲」になります。
y = ax + b1次関数とそのグラフ
xを入れるとy＝「aかけるx足すb」が出てくる規則。グラフに描くと必ず直線になります。
(a + b)² = a² + 2ab + b²乗法公式
(a+b)² は a²+b² ではありません。真ん中に 2ab が入り込み、a²+2ab+b² になります。
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)因数分解
x²+5x+6のような式を、(x+2)(x+3)のような「2つの式の積」に変えることです。展開のちょうど逆の操作です。
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)2次方程式
x²を含む方程式ax²+bx+c=0のこと。解は多くても2つで、a, b, cを解の公式に代入すれば必ず求まる。
y = a(x − p)² + q2次関数
y = a(x−p)² + q。グラフは放物線で、頂点(p, q)がその『とがった先端』（最大値または最小値の点）。
y = aˣ ⇔ x = logₐ y指数関数と対数関数
aˣはaを自分自身でx回かけ合わせたもの。logₐ yは逆に「aを何回かけるとyに届くか」を尋ねます。指数と対数は互いを打ち消し合います。
aₙ = a₁ + (n−1)d, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹等差数列と等比数列
等差数列は前の項に一定の数dを毎回足し、等比数列は前の項に一定の数rを毎回かけます。
Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2シグマ記号と数列の和
Σは『下の値から上の値まで代入して、すべて足せ』という命令。Σₖ₌₁ⁿ kは1からnまでの和。
(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼ行列
行列は数を行と列に並べたものです。2つの行列を掛けるには、「左の行」と「右の列」を対にして、掛けて足し合わせます。
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ二項定理
(a+b)ⁿを展開すると、各項の係数はₙCₖ——n個の括弧のうちk個からbを選ぶ方法の数——になります。
T(v) = Av, T(u+v) = T(u)+T(v), T(cu) = c·T(u)線形変換
線形変換は、平面（や空間）のすべての点を動かしながら、格子線をまっすぐで等間隔のままに保ち、原点を固定します。この整然とした動きは、たった1つの行列で完全に表せます。
Av = λv (v ≠ 0); det(A − λI) = 0固有値と固有ベクトル
変換Aを施すと、ほとんどのベクトルは向きがずれてしまいます。しかし特定の特別なベクトルvは向きを保ったまま、倍率λでスケールされるだけです。このようなvを固有ベクトル、倍率λをその固有値と呼びます。
u, v ∈ V, a, b ∈ ℝ ⟹ a·u + b·v ∈ Vベクトル空間
ベクトル空間とは、要素どうしを足しても実数倍しても外に出てしまわない集合のことです。この2つの演算がいくつかの自然なルールに従うだけでよいのです。
det([[a, b], [c, d]]) = ad − bc行列式
2×2行列[[a,b],[c,d]]の行列式はad − bcです。この数は、行列がどんな図形の面積を何倍にするかを表します。
幾何
16 個の概念角度
1つの点から2本の線（辺）がどれだけ開いているかを表します。その開き具合を度（°）で測ります。
▭ S = a × b △ S = c × h ÷ 2長方形と三角形の面積
図形が占める平らな空間の広さを、単位となる正方形が何個入るかで数えたものです。
▭ P = 2 × (a + b) ⬛ P = 4 × a周の長さ
輪郭を一周した長さの合計——すべての辺を足し合わせるだけです。
V = a × b × c直方体の体積
立体が占める空間の量を、1cmの立方体が何個入るかで数えたもの。
線対称
直線（対称軸）に沿って折ると、両側がぴったり一致する性質。
a² + b² = c²三平方の定理
直角三角形では、短い2辺をそれぞれ2乗して足すと、ちょうど斜辺の2乗に一致する。
△ABC ≅ △DEF合同な三角形
2つの三角形が合同であるとは、一方を回転や裏返しで他方にぴったり重ねられることです。対応する辺と角がすべて等しくなります。
a : a' = b : b' = c : c' = k相似
2つの図形が相似であるとは、対応する角がすべて等しく、対応する辺がすべて同じ倍率（k倍）になっていること。
(n − 2) × 180°多角形の内角と外角
n角形の内角を足し合わせると (n−2) × 180° になります。そして凸多角形の外角の和は、常に360°です。
π r² × (θ / 360)円の弧とおうぎ形
おうぎ形は円の一部です。中心角θが一回転（360°）のうちのある割合を占め、その同じ割合だけ円全体の面積（または円周）を受け取ります。
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)座標平面上の距離
2点の横方向の差と縦方向の差を求めると直角三角形ができ、2点を結ぶ線分がその斜辺になります。だから距離は√(横²+縦²)です。
sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj三角比
直角三角形で鋭角θを1つ選ぶと、その辺どうしの比は角度だけで決まります。その比が sin、cos、tan です。
sin²θ + cos²θ = 1三角関数
半径1の円上で角度θだけ回転した点の、縦の位置が sinθ、横の位置が cosθ。tanθ はその比です。
(x − a)² + (y − b)² = r²円の方程式
中心(a,b)からの距離が常にrである点(x,y)の集まりが円をつくります。この条件を方程式にすると(x−a)²+(y−b)²=r²になります。
|v| = √(x² + y²)ベクトル
ベクトルは大きさと向きの両方を持つ矢印です。横に x、縦に y 動くことを (x,y) と書きます。
a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cosθ; |a×b| = |a||b|sinθ内積と外積
内積a・bは2つのベクトルがどれだけ揃っているかを表す一つの数です。外積a×bは、2つのベクトルが張る平面に垂直に立つ新しいベクトルです。
解析・微積分
21 個の概念lim(n→∞) aₙ = L数列の極限
項番号nを無限大に押し進めたとき、項がある1つの数Lにどんどん近づいていくなら、Lはその数列の極限です。
lim(x→a) f(x) = L極限
xをある値aにどんどん近づけていき、関数がどの数値に群がっていくかを見る。
lim(x→a) f(x) = f(a)連続性
近づいたときに予想される値(極限)と、その点に実際に記された値がぴったり一致していれば、曲線はそこを途切れずに通っています。
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h導関数——瞬間の傾き
2点間の傾き(縦の変化÷横の変化)をとり、その2点を限りなく近づけて「一点における傾き」を得ます。
d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹べき乗の微分公式
xⁿ の傾きの関数は、前に指数 n をかけて、指数を n−1 に下げたものです。
(f·g)' = f'·g + f·g'積の微分公式
2つの関数の積を微分するには、一方ずつ微分して2つの結果を足す。
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)連鎖律
合成関数（関数の中に関数が入ったもの）を微分するには、外側の関数の導関数に内側の関数の導関数をかけます。
f'(x) = 0臨界点——傾きが0になる場所
導関数を0とおいて解くと、接線が水平になるxが求まります——それが極大値・極小値の候補です。
f''(x) > 0 ⇒ ∪ , f''(x) < 0 ⇒ ∩凹凸と第2次導関数
第2次導関数f''は傾きの変化率です。その符号によって、曲線がカップ型（∪）に曲がっているかキャップ型（∩）に曲がっているかがわかります。
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ)·Δx積分——面積を積み上げる
曲線の下の面積を、非常に細い長方形をたくさん並べて埋め、それらの面積を足し合わせたもの。幅を0に近づけると、正確な面積になります。
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)定積分
[a,b]上の面積を、リーマン和ではなく原始関数Fを見つけてF(b)−F(a)を計算することで求めます。
d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)微積分学の基本定理
aからxまで面積を積み上げてきた関数を微分すると、元の関数f(x)がそのまま出てきます。微分と積分は互いの逆演算です。
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828ネイピア数e
100%の利息をどんどん細かい複利の刻みに分けていくと、刻みの回数を無限大にしたときの結果はe ≈ 2.718に近づきます。
ln x = y ⇔ eʸ = x自然対数
ln x は「e を何乗すれば x になるか」に答えます。言い換えれば、指数関数 eˣ の逆関数です。
d/dx eˣ = eˣ指数関数の導出——e^xは自分自身の傾き
eˣの傾き関数はeˣそのものです。どの点でも、そこでの高さがそのままそこでの傾きになります。
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + ½f''(a)(x−a)²テイラー近似——曲線を多項式で表す
複雑な関数を、ある1点の近くで、値・傾き・曲がり方が一致するように調整したシンプルな多項式で近似したもの。
lim(x→a) f(x) = L ⟺ ∀ε>0, ∃δ>0 : 0 < |x−a| < δ ⟹ |f(x)−L| < ε極限のε-δ定義
相手がどれほど小さな誤差εを指定しても、入力の範囲δを狭めることでf(x)をLからε以内に保てるなら、その極限はLです。
S = Σ(n=1..∞) aₙ = lim(N→∞) (a₁ + a₂ + ⋯ + a_N); Σ(n=0..∞) arⁿ = a/(1−r), |r|<1級数の収束
無限級数の『和』は、文字通り最後まで足し合わせたものではない。最初のN項の部分和を作り、その値がNを大きくするにつれてある数Sに近づくなら、その級数は『Sに収束する』という。
z = f(x, y) → ∂f/∂x, ∂f/∂y偏微分
二つ以上の変数を持つ関数で、注目する一つの変数以外をすべて固定し、そのうえで普通の微分を行います。
∬_R f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dy重積分
底面の領域 R を微小な長方形に分割し、それぞれの面積にその上にある関数の高さを掛けて小さな柱を作り、すべての柱を足し合わせます。
f(x) = a₀/2 + Σₙ (aₙ cos nx + bₙ sin nx)フーリエ級数
周期関数は、基本周波数の整数倍の周波数を持つ正弦波と余弦波の和として正確に書き表せます。決めるべきなのは、それぞれの純音をどれだけ入れるか（係数aₙ, bₙ）だけです。
確率と統計
14 個の概念N = m × n場合の数
同時には起こりえないものは足す(和の法則)、続けて起こるものはかける(積の法則)。
P(A) = a / n確率の意味
同様に確からしい場合の数を数え、そのうち求める場合が占める割合を取ったもの。
P(Aᶜ) = 1 − P(A)余事象
あることが起こらない確率は、全確率1からそれが起こる確率を引いたものです。
x̄ = (x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ) / n代表値
平均は合計を個数で割った値、中央値は順に並べたときの真ん中の値、最頻値は最も多く現れる値です。
σ² = { (x₁−x̄)² + ⋯ + (xₙ−x̄)² } / n散らばり：分散と標準偏差
各値の平均からの偏差を2乗して平均したものが分散、その平方根が標準偏差です。
ₙPᵣ = n!/(n−r)!, ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!)順列と組合せ
n個の中から r個を選ぶとき、選んだ順序が重要なら順列（P）、「誰が選ばれたか」だけが重要なら組合せ（C）です。
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)条件付き確率
事象Aがすでに起きたとわかっているとき、その条件のもとでBが起きる確率のことです。世界をAだけに絞り込んでから、その中でBを測り直します。
P(X=k) = ₙCₖ pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ二項分布
同じ成功確率pを持つn回の独立な試行を行ったとき、k回成功する確率の分布です。
P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0.68正規分布
平均を中心に左右対称な、釣鐘の形をした分布です。データは平均の近くに最も密集し、離れるほど急に少なくなります。
E(X) = Σ xᵢ pᵢ期待値と分散
結果それぞれの確率がわかっているとき、値×確率をすべて合計したものです。非常に多く繰り返すと、それは物事が落ち着く「長期的な平均」になります。
P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)ベイズの定理
ベイズの定理は、新しい証拠で信念を更新するルールです。Bを見る前のAの確率（事前確率）に、Aが成り立つときBが起こりやすい度合いをかけ、Bの全体の確率で割ると、Bを見た後のAの確率（事後確率）が得られます。
x̄ₙ = (X₁ + X₂ + ⋯ + Xₙ) / n → μ (n → ∞)大数の法則
大数の法則とは、同じ確率的な実験を何度も繰り返すと、結果の平均が理論上の期待値μにどんどん近づいていくという法則です。個々の結果は予測不能なままですが、平均は予測可能になります。
(x̄ₙ − μ) / (σ/√n) → N(0, 1) (n → ∞)中心極限定理
中心極限定理とは、元の分布の形が平らでも歪んでいても、多くの独立な標本を集めてその平均（または合計）を取ると、その平均の分布は正規分布（釣鐘型）に近づくという定理です。
P(Xₙ₊₁ | X₀…Xₙ) = P(Xₙ₊₁ | Xₙ); πP = πマルコフ連鎖
状態の間をランダムに渡り歩く過程で、次の状態の確率が現在の状態だけで決まり、そこに至った経路にはまったく左右されないもの。この「記憶のなさ」がマルコフ性です。
離散数学と論理
4 個の概念n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)集合とベン図
和集合の大きさは、2つの集合の大きさを足したあと、重なり（共通部分）をちょうど1回分引いたもの。
(p → q) ≡ (~q → ~p)命題：真か偽か
命題とは、真か偽かを明確に判定できる文のこと。『pならばq』のような条件文は、その対偶と常に同じ真偽を持つ。
G = (V, E), Σ(v∈V) deg(v) = 2|E|グラフ理論
グラフとは点（頂点）と、それらを結ぶ線（辺）の集まりです。何と何がつながっているかだけを記録し、位置や形、距離は捨て去ります。関係を骨格だけに削ぎ落とした地図です。
[ P(1) ∧ ( P(k) ⟹ P(k+1) ) ] ⟹ ∀n ≥ 1, P(n)数学的帰納法
数学的帰納法は「すべての自然数nについて」命題が真であることを証明します。(1) n=1で成り立つこと（基礎）を示し、(2) n=kで成り立てばn=k+1でも成り立つこと（帰納段階）を示す——ドミノのように、すべてが倒れていきます。
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