三平方の定理
“直角三角形では、2辺がわかれば3つ目も決まる。”
数式
a² + b² = c²読み方: 直角三角形では、2つの直角をはさむ辺をそれぞれ2乗して足すと、斜辺の2乗に等しくなる
- a, b
- — 直角をはさむ2つの辺
- c
- — 直角の向かいにある最も長い辺（斜辺）
- a², b², c²
- — 各辺の上に作った正方形の面積
きっかけ
直角が1つあるだけで、残りの2辺から3つ目の辺を測らずに計算できる。
やさしく言うと
直角三角形では、短い2辺をそれぞれ2乗して足すと、ちょうど斜辺の2乗に一致する。
直感
3つの辺それぞれの上に正方形を描いてみよう。小さい2つの正方形の面積（a², b²）は、ぴったり合わさって大きい正方形（c²）を埋め尽くす。これは長さの関係ではなく『面積のつり合い』なのだ。
どう作られるか
カギは直角であること。角度がちょうど90°のときだけ、2辺の2乗の和が斜辺の2乗に等しくなる。斜辺cは常に直角の向かいにある — 最も長い辺。
例
2つの直角をはさむ辺が3と4なら、3² + 4² = 9 + 16 = 25。斜辺は√25 = 5。だから3-4-5は最も有名な直角三角形。
よくある誤解
どの辺でも斜辺として代入していいわけではない。cは常に『直角の向かいにある最も長い辺』。また、これは面積どうしの関係であり、a + b = cではない。
どこで使うか
地図上の2点間の距離、画面の対角線サイズ、建物が垂直かどうかの確認、座標平面上の距離の公式 — 『直線距離』が必要なほぼどんな場面にも。
どこから来たか
ピタゴラスの名を冠しているが、バビロニア人、エジプト人、中国人、インド人はすでに何千年も前からこの関係を知り、使っていた。
前提概念
確認問題
直角をはさむ辺が6と8の直角三角形の斜辺は？
- 10✓
- 12
- 14
- 48
練習
直角をはさむ辺が5と12の直角三角形の斜辺は？
答え: 13
- 5² + 12² = 25 + 144 = 169
- 斜辺 = √169 = 13
ポイント: 5-12-13もよく見かける整数の直角三角形。
斜辺が13、一方の辺が5の直角三角形。もう一方の辺は？
答え: 12
- 斜辺がわかっているときは引き算：b² = c² − a²
- b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
- b = √144 = 12
ポイント: 斜辺と1辺がわかっているときは引き算 — 足し算ではない。
1辺の長さが1の正方形の対角線の長さは？（近似値で答えよう）
答え: 1.41
- 対角線は、直角をはさむ辺が1と1の直角三角形の斜辺
- 1² + 1² = 2、よって対角線 = √2
- √2 ≈ 1.414
ポイント: 正方形の対角線は1辺の√2倍 — 無理数で、割り切れない数。