最大公約数と最小公倍数
“最大公約数と最小公倍数はペアで旅をします。”
数式
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b読み方: 最大公約数と最小公倍数をかけると、2つの数の積に等しくなる
- GCD(a, b)
- — 最大公約数——両方を割り切る最大の数
- LCM(a, b)
- — 最小公倍数——両方の倍数になる最小の数
- a × b
- — 2つの数自体の積
きっかけ
「両方を割り切る最大の数」と「両方が届く最小の数」——この2つは実はペアで動いています。
やさしく言うと
最大公約数（GCD）は両方を割り切る最大の数、最小公倍数（LCM）は両方の倍数になる最小の数——それらの倍数が最初に重なる場所です。
直感
素因数分解するとはっきりします。GCDは2つの数が共有する素因数だけを集めたもの、LCMはどちらかに現れる素因数を全部集めたものです。だから両方をかけると2つの数の積に戻るのです。
どう作られるか
12=2²×3、18=2×3²。共有部分の最小だけを取る → GCD=2×3=6。すべての素因数の最大を取る → LCM=2²×3²=36。確認：6×36=216=12×18。
例
8と12：8=2³、12=2²×3。共有部分2²=4がGCDです。すべてを寛大に取ると2³×3=24がLCM。そして4×24=96=8×12で確認できます。
よくある誤解
GCDは小さい方の数を超えることはできず、LCMは大きい方の数より小さくなることはできません。GCD ≤ 小さい方 ≤ 大きい方 ≤ LCMと覚えておくとミスを防げます。
どこで使うか
分数の約分（GCD）や通分（LCM）、歯車が再びかみ合うタイミング、余りなく均等に物を分けること——実生活の問題はどれもこれらを使います。
どこから来たか
GCDを素早く求める「ユークリッドの互除法」は紀元前300年頃の『原論』に登場します——今もコンピュータで使われている最古のアルゴリズムです。
前提概念
確認問題
12と18の最大公約数はいくつですか？
- 2
- 3
- 6✓
- 36
練習
8と12のGCDはいくつですか？
答え: 4
- 8 = 2³、12 = 2² × 3
- 共有する素因数を最小の指数で：2² = 4
ポイント: GCDは共有する素因数だけを、最小の指数で取ります。
4と6のLCMはいくつですか？
答え: 12
- 4 = 2²、6 = 2 × 3
- すべての素因数を最大の指数で：2² × 3 = 12
ポイント: LCMはすべての素因数を、最大の指数で集めます。
15と25のGCDはいくつですか？
答え: 5
- 15 = 3 × 5、25 = 5²
- 共有する素因数：5 → GCD = 5
ポイント: 共有する素因数が1つだけなら、それがGCDです。
12と18のGCDが6であることを使って、GCD×LCM=a×bからLCMを求めなさい。
答え: undefined
- GCD × LCM = a × b → 6 × LCM = 12 × 18 = 216
- LCM = 216 ÷ 6
- LCM = 36
ポイント: GCDがわかれば、かけ算と割り算1回でLCMが求まります。