循環小数
“循環小数は、別の服を着た分数。”
数式
0.ddd… = d/9, 0.abab… = ab/99読み方: 1桁が循環するならその数字を9で割ったもの、2桁が循環するならそれを99で割ったもの
- 0.ddd…
- — 数字dがひとつ永遠に循環する循環小数
- d/9
- — 循環する数字を9で割ったもの
- ab/99
- — 2桁の並びabが循環するなら99で割る
きっかけ
1/3 = 0.333…のように永遠に続く小数は、実は整った分数が姿を変えただけのもの。
やさしく言うと
小数点以下、同じ数字の並びが永遠に繰り返される小数。これは常に分数に戻すことができる。
直感
1を3で割ると、余りが同じパターンで巡り続け、0.333…になる。可能な余りは有限個しかないので、いつか必ず繰り返しが起こる — だからすべての分数は、止まるか循環するかのどちらかの小数になる。
どう作られるか
分数に戻すコツ：x = 0.ddd…とおき、10倍して引き算する。x=0.333…なら、10x=3.333…、10x−x=3、9x=3、x=3/9=1/3。ここから『循環する桁数だけ9を並べた数で割る』というルールが生まれる。
例
0.777…を分数にしよう。x=0.777…、10x=7.777…、引き算すると9x=7、よってx=7/9。実際に7÷9=0.777…。
よくある誤解
0.999…は1に『近い』だけの数ではなく、正確に1そのものである。x=0.999…とすると、10x−x=9、よって9x=9、x=1。これは同じ数を別の書き方で表しただけ。
どこで使うか
分数と小数の変換、電卓に表示された小数の正体を突き止めること、すべての有理数が『止まるか循環する』小数になる理由の理解。
どこから来たか
分数を割り算すると余りが循環することは古くから知られており、循環する部分を点や線で示す記法が定着した。
前提概念
確認問題
0.555…を分数で表すと？
- 5/9✓
- 5/10
- 1/5
- 5/99
練習
0.888…を分数で表すと？
答え: 0
- 1桁の8が循環している → 9で割る
- 0.888… = 8/9
ポイント: 1桁が循環する小数は、その数字を9で割ったもの。
0.121212…を分数で表すと？
答え: 0
- 2桁の並び12が循環している → 99で割る
- 0.121212… = 12/99
ポイント: 2桁の循環は99で割る（循環する桁ごとに9が1つ）。
0.444…を分数にしよう。
答え: undefined
- x = 0.444…とおくと、10x = 4.444…
- 10x − x = 4、よって9x = 4
- x = 4/9
ポイント: 10倍して引き算すると、循環する部分が打ち消し合う。
0.999… = 1であることを計算で示そう。
答え: undefined
- x = 0.999…とおくと、10x = 9.999…
- 10x − x = 9.999… − 0.999… = 9
- 9x = 9 → x = 1
ポイント: 0.999…と1は、同じ数を表す2通りの書き方。