確率と統計
14 個の概念
N = m × n場合の数
同時には起こりえないものは足す(和の法則)、続けて起こるものはかける(積の法則)。
P(A) = a / n確率の意味
同様に確からしい場合の数を数え、そのうち求める場合が占める割合を取ったもの。
P(Aᶜ) = 1 − P(A)余事象
あることが起こらない確率は、全確率1からそれが起こる確率を引いたものです。
x̄ = (x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ) / n代表値
平均は合計を個数で割った値、中央値は順に並べたときの真ん中の値、最頻値は最も多く現れる値です。
σ² = { (x₁−x̄)² + ⋯ + (xₙ−x̄)² } / n散らばり：分散と標準偏差
各値の平均からの偏差を2乗して平均したものが分散、その平方根が標準偏差です。
ₙPᵣ = n!/(n−r)!, ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!)順列と組合せ
n個の中から r個を選ぶとき、選んだ順序が重要なら順列（P）、「誰が選ばれたか」だけが重要なら組合せ（C）です。
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)条件付き確率
事象Aがすでに起きたとわかっているとき、その条件のもとでBが起きる確率のことです。世界をAだけに絞り込んでから、その中でBを測り直します。
P(X=k) = ₙCₖ pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ二項分布
同じ成功確率pを持つn回の独立な試行を行ったとき、k回成功する確率の分布です。
P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0.68正規分布
平均を中心に左右対称な、釣鐘の形をした分布です。データは平均の近くに最も密集し、離れるほど急に少なくなります。
E(X) = Σ xᵢ pᵢ期待値と分散
結果それぞれの確率がわかっているとき、値×確率をすべて合計したものです。非常に多く繰り返すと、それは物事が落ち着く「長期的な平均」になります。
P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)ベイズの定理
ベイズの定理は、新しい証拠で信念を更新するルールです。Bを見る前のAの確率（事前確率）に、Aが成り立つときBが起こりやすい度合いをかけ、Bの全体の確率で割ると、Bを見た後のAの確率（事後確率）が得られます。
x̄ₙ = (X₁ + X₂ + ⋯ + Xₙ) / n → μ (n → ∞)大数の法則
大数の法則とは、同じ確率的な実験を何度も繰り返すと、結果の平均が理論上の期待値μにどんどん近づいていくという法則です。個々の結果は予測不能なままですが、平均は予測可能になります。
(x̄ₙ − μ) / (σ/√n) → N(0, 1) (n → ∞)中心極限定理
中心極限定理とは、元の分布の形が平らでも歪んでいても、多くの独立な標本を集めてその平均（または合計）を取ると、その平均の分布は正規分布（釣鐘型）に近づくという定理です。
P(Xₙ₊₁ | X₀…Xₙ) = P(Xₙ₊₁ | Xₙ); πP = πマルコフ連鎖
状態の間をランダムに渡り歩く過程で、次の状態の確率が現在の状態だけで決まり、そこに至った経路にはまったく左右されないもの。この「記憶のなさ」がマルコフ性です。
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