代表値
“中心を測る三つのものさし——平均、中央値、最頻値。”
数式
x̄ = (x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ) / n読み方: 平均は、すべてのデータの値を足し合わせ、その個数で割ったもの
- x₁ … xₙ
- — それぞれのデータの値
- n
- — データの個数
- x̄
- — 平均（合計 ÷ 個数）
きっかけ
データ全体を「一つの代表値」でまとめる方法は一つではありません——平均・中央値・最頻値は、それぞれ違う場面で主役になります。
やさしく言うと
平均は合計を個数で割った値、中央値は順に並べたときの真ん中の値、最頻値は最も多く現れる値です。
直感
平均はデータがシーソーで釣り合う支点です。中央値は全員を一列に並べたときにちょうど真ん中に立つ人、最頻値は値が最も多く積み重なる場所です。この三つは、それぞれ違う「中心」を指すことがあります。
どう作られるか
平均はすべての値を使うため、極端な値に引っ張られます。中央値は順序しか気にしないので、極端な値の影響を受けません。最頻値は最も多い値で、データの「傾向」を示します。
例
データ 2, 3, 3, 7, 10 → 平均 = 25/5 = 5、中央値 = （2, 3, 3, 7, 10 を順に並べた真ん中）3、最頻値 = 最も多く出る 3。
よくある誤解
平均は常に「代表的」とは限りません。一人の給料が飛び抜けて高いと平均は跳ね上がり、多くの人はそれより少なく稼いでいます——こういうときは中央値の方が実態に近いのです。
どこで使うか
成績、収入、身長、再生回数などを一つの数値でまとめるときに使います。収入のように極端な値が出やすいデータでは、歪みを避けるために中央値も確認すべきです。
どこから来たか
平均は昔、天文学で多くの測定値を「均す」ことで誤差を減らすために使われました。中央値と最頻値は、統計学が発展する中で確立されていきました。
前提概念
確認問題
データ 4, 6, 6, 8, 11 の中央値はいくつですか？
- 6✓
- 7
- 8
- 35
練習
データ 3, 5, 7, 9, 11 の平均はいくつですか？
答え: 7
- 合計 = 3+5+7+9+11 = 35
- 35 / 5 = 7
ポイント: 平均 = データの合計 ÷ 個数。
データ 2, 3, 5, 8, 8, 10 の中央値はいくつですか？（個数が偶数の場合）
答え: 6.5
- 順に並べると、真ん中の二つの値は 5 と 8
- (5 + 8) / 2 = 6.5
ポイント: 個数が偶数のとき、中央値は真ん中の二つの値の平均です。
データ 1, 2, 2, 2, 5, 9 について平均・中央値・最頻値を求め、どれが最もデータを代表するか考えましょう。
答え: undefined
- 平均 = 21/6 = 3.5
- 中央値 = 真ん中の二つの値 (2, 2) の平均 = 2
- 最頻値 = 最も多く出る 2
- 大きな値 9 が平均を押し上げるため、中央値・最頻値（2）の方が代表的
ポイント: 極端な値があるとき、中央値の方が平均より実態に近いことがあります。