順列と組合せ
“順序が重要なら順列、順序を無視するなら組合せ（C = P ÷ r!）。”
数式
ₙPᵣ = n!/(n−r)!, ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!)読み方: 順列は r 個を順序込みで選ぶ方法の数、組合せは r 個を順序を無視して選ぶ方法の数
- n
- — 全体の個数
- r
- — 選ぶ個数
- ₙPᵣ
- — 順列——順序が重要な数え方
- ₙCᵣ
- — 組合せ——順序を問わない数え方
きっかけ
「金・銀・銅は誰か」と「決勝に進む3人は誰か」は数え方が違います——順序が重要かどうかが、順列と組合せを分ける境目です。
やさしく言うと
n個の中から r個を選ぶとき、選んだ順序が重要なら順列（P）、「誰が選ばれたか」だけが重要なら組合せ（C）です。
直感
順番に並べて選べば順列です。でも組合せは順序を気にしないので、同じグループでも並び順が違うだけの重複（r!通り）を消さなければなりません——だから組合せは順列を r! で割ったものになります。C = P ÷ r!。
どう作られるか
P は「n かける (n−1) かける…と、r個の因数を1ずつ減らしながらかけたもの」です。C はその P を r! で割って、順序の重複を消します。階乗 n! は 1 から n までをかけ合わせたもので、並べ方の総数を表します。
例
5人から2人を選ぶ場合：順列 ₅P₂ = 5·4 = 20（1位と2位を区別）。組合せ ₅C₂ = 20 ÷ 2! = 20 ÷ 2 = 10（ただ2人を選ぶだけ）。
よくある誤解
「選ぶ」という言葉を見ただけで組合せと決めつけないでください。役割が異なるなら（会長と副会長など）順列、役割の区別がなければ（ただの代表2人など）組合せです。
どこで使うか
宝くじの確率、可能なパスワードの数、チーム編成、トランプの役——「何通りあるか」を数える、確率と統計の出発点です。
どこから来たか
体系的な数え上げは、パスカルとフェルマーが賭け事の確率について考え合った書簡のやり取りから大きく発展しました。
前提概念
確認問題
₅C₂ はいくつですか？（5から2を選ぶ）
- 10✓
- 20
- 25
- 60
練習
₄P₂ を求めましょう（4個から2個を順序込みで並べる）。
答え: 12
- 4から2個の因数を1ずつ減らしながらかける：4·3
- = 12
ポイント: 順列は n から r個の因数を1ずつ減らしながらかけたものです。
₆C₂ を求めましょう。
答え: 15
- ₆C₂ = (6·5)/(2·1)
- = 30/2 = 15
ポイント: 組合せは順列を r! で割ったものです。
3! を求めましょう。
答え: 6
- 3! = 3·2·1
- = 6
ポイント: 階乗は 1 からその数までをかけ合わせたものです。
「5から2を選ぶ」を使って、ₙCᵣ = ₙPᵣ ÷ r! となる理由を説明しましょう。
答え: undefined
- 順列 ₅P₂=20 は (A,B) と (B,A) を別々に数える
- でも2人を選ぶだけなら、それらは同じグループ
- 2!=2通りの並び順を割って消す：20÷2=10
ポイント: 組合せは、順列から順序の重複を取り除いたものです。