場合の数
“続けて起こるならかけ算、二つのうち一つなら足し算。”
数式
N = m × n読み方: 一方の事象がm通り、次にもう一方がn通り起こりうるとき、この2つが続けて起こる場合はm×n通り
- m
- — 最初の事象が起こりうる場合の数
- n
- — 次の事象が起こりうる場合の数
- m × n
- — 両方が続けて起こる場合の総数
きっかけ
「場合の数を数える」とは、あらゆる可能性を一つも漏らさず、二重にも数えない技術のことです。
やさしく言うと
同時には起こりえないものは足す(和の法則)、続けて起こるものはかける(積の法則)。
直感
服を選ぶ場面を考えましょう:シャツ3枚から1枚、ズボン2本から1本。どのシャツも2通りのズボンへ枝分かれするので、3×2=6通り。ツリー状に枝分かれするからかけ算になるのです。
どう作られるか
見分ける鍵は「かつ」か「または」か。続けて一つずつ起こる→かける(「かつ」)。どちらか一方だけ→足す(「または」)。
例
Tシャツ3種類とズボン2種類の組み合わせ:どのシャツにもズボン2通り → 3×2=6通りの服装。
よくある誤解
本当は「かつ」なのに足したり、本当は「または」なのにかけたりすると間違えます。続けて起こる→かける、二つのうち一つ→足す。
どこで使うか
パスワードの通り数、座席の並べ方、トーナメント表、宝くじの確率の分母など——確率を求めるにはまず場合の数を数える必要があります。
どこから来たか
1600年代、パスカルとフェルマーが賭け事の問題を解き明かしたことで、可能性を体系的に数える方法が確立し、確率論への扉が開かれました。
確認問題
コインを1枚投げるのとサイコロを1個振るのを同時に行うと、何通りの結果がありますか?
- 8
- 12✓
- 36
- 2
練習
Tシャツ4種類と帽子3種類から組み合わせを選ぶ方法は何通りありますか?
答え: 12
- どのシャツも帽子3通りへ枝分かれする
- 4 × 3 = 12
ポイント: 続けて行う選択はかけ算になります。
数字1, 2, 3を使って作れる2桁の数(12や33のような)は何通りありますか?(繰り返し可)
答え: 9
- 十の位:3通り
- 一の位:3通り(繰り返し可)
- 3 × 3 = 9
ポイント: 各桁の選び方の数をかけ合わせます。
サイコロを2個振るとき、目の組み合わせは何通りありますか?なぜかけ算になるのかメモに書きなさい。
答え: undefined
- 1個目のサイコロ:6通り
- 2個目のサイコロ:6通り
- どの目も6通りへ枝分かれするので、6 × 6 = 36
ポイント: 「かつ」でつながる事象は場合の数をかけ合わせます。