期待値と分散
“期待値は確率で重み付けした「長期的な平均」です。”
数式
E(X) = Σ xᵢ pᵢ読み方: 期待値は起こりうる結果それぞれに確率を掛けて合計したもの——長期的な平均
- xᵢ
- — 起こりうる値（結果）のそれぞれ
- pᵢ
- — その値が起こる確率
- E(X)
- — 期待値——確率で重み付けした平均
きっかけ
サイコロを振ると、出る目の平均は？3.5——実際には出ない値が「期待値」です。
やさしく言うと
結果それぞれの確率がわかっているとき、値×確率をすべて合計したものです。非常に多く繰り返すと、それは物事が落ち着く「長期的な平均」になります。
直感
期待値は確率を重みとして使う重心のようなものです。よく起こる値（pが大きい値）ほど平均を強く引っ張ります。だから期待値は特定の1回の結果ではなく「長い目で見て平均どれくらいか」を教えてくれます。分散は値が平均のまわりにどれだけ散らばっているかを測ります。
どう作られるか
E(X)=Σ xᵢpᵢは「値×確率」を合計します。分散V(X)は各値と平均との差の2乗を平均したもので、散らばりが大きいほど大きくなります。標準偏差は分散の平方根をとることで元の単位に戻します。
例
公正なサイコロ：E(X) = 1·(1/6)+2·(1/6)+…+6·(1/6) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5。
よくある誤解
期待値は「最も頻繁に出る値」でも、実際に起こる値でもありません。サイコロの期待値3.5はどの面にもなく、純粋に「長期的な平均」です。
どこで使うか
保険や宝くじの価格設定、投資の期待リターン、ゲームデザインのバランス調整、意思決定の基準——不確かな結果の「平均的な価値」を測るあらゆる場面。
どこから来たか
期待値の考え方は17世紀、パスカル、フェルマー、ホイヘンスが賭け金を「公平に」分配する方法を研究する中で生まれました。
前提概念
確認問題
公正なサイコロ1個の期待値はいくつですか？
- 3
- 3.5✓
- 4
- 6
練習
表が出たら1000ウォン、裏が出たら0ウォンもらえるコインゲームがあります。期待値を求めなさい。
答え: 500
- E(X) = 1000·(1/2) + 0·(1/2)
- = 500 + 0 = 500
ポイント: 期待値 = Σ(値 × 確率)。
Xは1, 2, 3の値を、それぞれ確率1/2, 1/4, 1/4でとります。E(X)を求めなさい。
答え: 1.75
- E(X) = 1·(1/2) + 2·(1/4) + 3·(1/4)
- = 0.5 + 0.5 + 0.75 = 1.75
ポイント: 平均は確率の高い値の方へ引っ張られます。
公正なサイコロの期待値を直接計算しなさい。
答え: 3.5
- (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6
- = 3.5
ポイント: 確率が等しいとき、期待値は単なる平均になります。
分散がデータの「散らばり」を測る理由を一言で説明しなさい。
答え: undefined
- 各値と平均との差の2乗を平均している
- 散らばりが大きいほど、その2乗の差も大きくなる
- だから分散が大きいということは、データが広く散らばっているということ
ポイント: 分散とは「値が平均からどれだけ散らばっているか」です。