正規分布
“正規分布は 68-95-99.7——平均から離れるほど、急に稀になります。”
数式
P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0.68読み方: 正規分布では、データの約68%が平均 μ から標準偏差 σ 一つ分の範囲に収まる
- μ
- — 平均——分布の中心（山の頂点の位置）
- σ
- — 標準偏差——データの散らばり具合（幅）
- 68%
- — 平均から ±1σ の範囲に入るデータの割合
きっかけ
身長、テストの点数、測定誤差——自然や社会の無数のデータが、まるで示し合わせたかのように同じ「釣鐘型」に積み重なります。それが正規分布です。
やさしく言うと
平均を中心に左右対称な、釣鐘の形をした分布です。データは平均の近くに最も密集し、離れるほど急に少なくなります。
直感
多くの小さな独立した原因が偶然重なり合うと、結果は釣鐘型に集まります。中心（平均 μ）が山の頂点、散らばり（標準偏差 σ）が釣鐘の幅です。σ が小さいと高くて細く、σ が大きいと低くて広くなります——μ は位置を、σ は広がりを決めます。
どう作られるか
鍵となるのは「68-95-99.7 の法則」です。データの約68%は平均から ±1σ の範囲に、約95%は ±2σ の範囲に、約99.7%は ±3σ の範囲に収まります。この三つの数字さえ覚えれば、どんな正規分布もだいたい見積もれます。
例
平均60点、標準偏差10点のテストでは、約68%の生徒が50〜70点（±1σ）、約95%が40〜80点（±2σ）をとります。
よくある誤解
すべてのデータが正規分布に従うわけではありません。収入のように右に歪んだデータは釣鐘型になりません。また ±2σ がカバーするのは95%であって100%ではなく、5%は範囲外に残ります。
どこで使うか
偏差値による評価、品質管理の管理限界、世論調査の誤差範囲、金融リスクの測定——統計的推測の基本的なものさしです。
どこから来たか
ガウスが測定誤差の分布を研究する中でこの曲線を洗練させたため、「ガウス分布」とも呼ばれます。かつてのドイツの10マルク紙幣には、この釣鐘曲線が描かれていました。
前提概念
確認問題
正規分布で、平均から ±1標準偏差の範囲にはデータの約何%が入りますか？
- 50%
- 68%✓
- 95%
- 99.7%
練習
正規分布で、±2標準偏差の範囲にはデータの約何%が入りますか？
答え: 95
- 68-95-99.7の法則から、±2σ は
- 約95%
ポイント: ±1σ→68%、±2σ→95%、±3σ→99.7%。
平均100、標準偏差15の正規分布で、85から115の範囲には約何%が入りますか？
答え: 68
- 85から115は 100 ± 15、つまり平均 ±1σ
- 約68%
ポイント: ±1σ の範囲はすぐに68%とわかります。
平均50、標準偏差5の正規分布で、40から60の範囲には約何%が入りますか？
答え: 95
- 40から60は 50 ± 10 = 平均 ±2σ
- 約95%
ポイント: まず、その範囲が何σ分にあたるかを確認しましょう。
正規分布において z=(x−μ)/σ で標準化するとはどういうことか、説明しましょう。
答え: undefined
- x が平均からどれだけ離れているかを測る（μ を引く）
- 標準偏差 σ を単位として測る（σ で割る）
- z は「平均から何σ離れているか」を教えてくれる
ポイント: 標準化すると、異なる分布を一つの共通のものさしで比べられます。