連鎖律
“連鎖律：外側の導関数×内側の導関数を、鎖のようにかけ合わせる。”
数式
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)読み方: 外側の関数を微分し（内側はそのままにして）、内側の関数の導関数をかける
- g(x)
- — 内側の関数
- f'(g(x))
- — 外側の関数を微分し、内側はそのままにしたもの
- g'(x)
- — 内側の関数の導関数
きっかけ
ある関数が別の関数の中に入っているとき、導関数は「外側×内側」として流れる——微分でいちばん頻繁に使うルール。
やさしく言うと
合成関数（関数の中に関数が入ったもの）を微分するには、外側の関数の導関数に内側の関数の導関数をかけます。
直感
かみ合った歯車をイメージしてください。外側の車輪は内側の車輪の速さの何倍かで回ります。変化率は鎖のように次々にかけ合わされていく——だから「連鎖」律と呼ばれます。
どう作られるか
玉ねぎの皮をむくように、いちばん外側から進めます。外側の関数fを微分し（内側のgはそのままにして）、gそのものがxとともにどれだけ速く変化するか（それがg'）をかけます。
例
y=(x²+1)³の場合、外側は3乗（→3u²）、内側はx²+1（→2x）。かけ合わせると：y'=3(x²+1)²·2x = 6x(x²+1)²。x=1では6·1·4 = 24。
よくある誤解
内側の導関数g'をかけ忘れるのはよくあるミスです。3(x²+1)²——外側だけ——で止まるのは誤りです。
どこで使うか
指数関数・対数関数・三角関数が他の式を包んでいる場合、物理での関連変化率、ニューラルネットワークの逆伝播——すべて連鎖律です。
どこから来たか
ライプニッツのdy/dx記法が輝く場面です——dy/dx = dy/du · du/dxは、まるで分数がそのまま約分されるように読めます。
前提概念
確認問題
y=(3x+1)²の導関数はいくつですか？
- 2(3x+1)
- 6(3x+1)✓
- 6x
- 3(3x+1)²
練習
y=(2x+1)³のx=0における導関数はいくつですか？
答え: 6
- 外側：3乗 → 3(2x+1)² ；内側：2x+1 → 2
- y'=3(2x+1)²·2 = 6(2x+1)²
- x=0を代入 → 6·1 = 6
ポイント: 外側の導関数の後、必ず内側の導関数2をかける。
y=(x²+1)²のx=1における導関数はいくつですか？
答え: 8
- 外側：2乗 → 2(x²+1) ；内側：x²+1 → 2x
- y'=2(x²+1)·2x = 4x(x²+1)
- x=1を代入 → 4·1·2 = 8
ポイント: x⁴+2x²+1に展開して微分すると4x³+4x、x=1で8——一致する。
連鎖律を使ってy=(5x−2)⁴を微分しなさい。
答え: undefined
- 外側：4乗 → 4(5x−2)³ ；内側：5x−2 → 5
- y'=4(5x−2)³·5 = 20(5x−2)³
ポイント: 内側の導関数（ここでは5）をかけ忘れないこと。