解析・微積分
21 個の概念
lim(n→∞) aₙ = L数列の極限
項番号nを無限大に押し進めたとき、項がある1つの数Lにどんどん近づいていくなら、Lはその数列の極限です。
lim(x→a) f(x) = L極限
xをある値aにどんどん近づけていき、関数がどの数値に群がっていくかを見る。
lim(x→a) f(x) = f(a)連続性
近づいたときに予想される値(極限)と、その点に実際に記された値がぴったり一致していれば、曲線はそこを途切れずに通っています。
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h導関数——瞬間の傾き
2点間の傾き(縦の変化÷横の変化)をとり、その2点を限りなく近づけて「一点における傾き」を得ます。
d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹べき乗の微分公式
xⁿ の傾きの関数は、前に指数 n をかけて、指数を n−1 に下げたものです。
(f·g)' = f'·g + f·g'積の微分公式
2つの関数の積を微分するには、一方ずつ微分して2つの結果を足す。
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)連鎖律
合成関数（関数の中に関数が入ったもの）を微分するには、外側の関数の導関数に内側の関数の導関数をかけます。
f'(x) = 0臨界点——傾きが0になる場所
導関数を0とおいて解くと、接線が水平になるxが求まります——それが極大値・極小値の候補です。
f''(x) > 0 ⇒ ∪ , f''(x) < 0 ⇒ ∩凹凸と第2次導関数
第2次導関数f''は傾きの変化率です。その符号によって、曲線がカップ型（∪）に曲がっているかキャップ型（∩）に曲がっているかがわかります。
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ)·Δx積分——面積を積み上げる
曲線の下の面積を、非常に細い長方形をたくさん並べて埋め、それらの面積を足し合わせたもの。幅を0に近づけると、正確な面積になります。
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)定積分
[a,b]上の面積を、リーマン和ではなく原始関数Fを見つけてF(b)−F(a)を計算することで求めます。
d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)微積分学の基本定理
aからxまで面積を積み上げてきた関数を微分すると、元の関数f(x)がそのまま出てきます。微分と積分は互いの逆演算です。
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828ネイピア数e
100%の利息をどんどん細かい複利の刻みに分けていくと、刻みの回数を無限大にしたときの結果はe ≈ 2.718に近づきます。
ln x = y ⇔ eʸ = x自然対数
ln x は「e を何乗すれば x になるか」に答えます。言い換えれば、指数関数 eˣ の逆関数です。
d/dx eˣ = eˣ指数関数の導出——e^xは自分自身の傾き
eˣの傾き関数はeˣそのものです。どの点でも、そこでの高さがそのままそこでの傾きになります。
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + ½f''(a)(x−a)²テイラー近似——曲線を多項式で表す
複雑な関数を、ある1点の近くで、値・傾き・曲がり方が一致するように調整したシンプルな多項式で近似したもの。
lim(x→a) f(x) = L ⟺ ∀ε>0, ∃δ>0 : 0 < |x−a| < δ ⟹ |f(x)−L| < ε極限のε-δ定義
相手がどれほど小さな誤差εを指定しても、入力の範囲δを狭めることでf(x)をLからε以内に保てるなら、その極限はLです。
S = Σ(n=1..∞) aₙ = lim(N→∞) (a₁ + a₂ + ⋯ + a_N); Σ(n=0..∞) arⁿ = a/(1−r), |r|<1級数の収束
無限級数の『和』は、文字通り最後まで足し合わせたものではない。最初のN項の部分和を作り、その値がNを大きくするにつれてある数Sに近づくなら、その級数は『Sに収束する』という。
z = f(x, y) → ∂f/∂x, ∂f/∂y偏微分
二つ以上の変数を持つ関数で、注目する一つの変数以外をすべて固定し、そのうえで普通の微分を行います。
∬_R f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dy重積分
底面の領域 R を微小な長方形に分割し、それぞれの面積にその上にある関数の高さを掛けて小さな柱を作り、すべての柱を足し合わせます。
f(x) = a₀/2 + Σₙ (aₙ cos nx + bₙ sin nx)フーリエ級数
周期関数は、基本周波数の整数倍の周波数を持つ正弦波と余弦波の和として正確に書き表せます。決めるべきなのは、それぞれの純音をどれだけ入れるか（係数aₙ, bₙ）だけです。
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