解析・微積分conceptintermediate
臨界点——傾きが0になる場所
“山と谷では、傾きはゼロです。”
数式
f'(x) = 0読み方: 導関数(傾き)が0になるx——極大値・極小値の候補
- f'(x)
- — 導関数=その点における傾き
- = 0
- — 傾きが0、接線が水平
- x
- — 極大値または極小値の候補地点
きっかけ
関数の山と谷を見つける方法は驚くほどシンプルです——「傾きが0になる場所を探す」だけ。
やさしく言うと
導関数を0とおいて解くと、接線が水平になるxが求まります——それが極大値・極小値の候補です。
直感
山を登ると頂上では一瞬水平になります。谷底でも同じです。上り(傾き+)から下り(傾き−)へ切り替わる転換点で、傾きはちょうど0を通過します。
どう作られるか
f'(x)=0を解いて候補となるxを集めます。その後、両側での傾きの符号や2階微分を使って、それぞれが山なのか谷なのかを判定します。
例
f(x)=x²−4x+3なら、f'(x)=2x−4。これを0とおくとx=2。そこでf(2)=4−8+3=−1——この放物線の最も低い点です。
よくある誤解
傾き0が常に極値とは限りません。f(x)=x³はx=0でf'=0ですが、山でも谷でもなくただ通り過ぎるだけです(変曲点)。
どこで使うか
最大利益、最小コスト、最短経路——「最善の値」を探すあらゆる最適化問題は、傾き=0を解くことから始まります。
どこから来たか
微分法がまだ確立される前から、フェルマーは「極大値の近くでは変化が止まる」という発想の種をまいていました。
前提概念
確認問題
f(x)=x²−6xはどのxで極値をとりますか?
- 0
- 2
- 3✓
- 6
練習
f(x)=x²−2xはどのxで極値をとりますか?
答え: 1
解き方:
- f'(x)=2x−2
- 0とおく:2x−2=0 → x=1
ポイント: 微分して、0とおいて、xを解きます。
f(x)=x²+6x+5はどのxで最小になりますか?
答え: -3
解き方:
- f'(x)=2x+6
- 0とおく:2x+6=0 → x=−3
ポイント: 上に開いた放物線では、傾き0が最も低い点です。
f(x)=x³−3xのすべての臨界点(傾きが0になる場所)を求めなさい。
答え: undefined
解き方:
- f'(x)=3x²−3
- 0とおく:3x²−3=0 → x²=1 → x=1, x=−1
ポイント: 臨界点は複数あることがあります——すべての解を集めましょう。