重積分
“重積分は「微小な面積片ごとに高さを掛けて、すべて足し合わせる」——それが体積です。”
数式
∬_R f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dy読み方: 領域 R 上で、f を x について1回、y について1回積分すると、曲面の下にある体積が求まる
- ∬_R
- — 領域 R 上での二重積分の記号
- dA
- — 面積要素 dA = 微小な面積の一片
- dx dy
- — 内側の積分（x）を先に、外側の積分（y）を後に——累次積分
きっかけ
1変数の積分が面積を測るものさしなら、2変数の積分は体積を測るものさし——曲面と底面の間の空間全体をとらえます。
やさしく言うと
底面の領域 R を微小な長方形に分割し、それぞれの面積にその上にある関数の高さを掛けて小さな柱を作り、すべての柱を足し合わせます。
直感
建物の高さが f(x,y) である都市の地図を想像してください。各区画（微小な面積 dA）ごとに「面積 × 高さ = その区画の体積」を計算し、都市全体で足し合わせると総体積になります。積分記号が二つあるのは、x 方向と y 方向にそれぞれ一回ずつ掃引するからです。
どう作られるか
累次積分は内側から外側へ計算します。まず y を固定して x について積分し（一枚の断面の面積が得られる）、それを y について積分します（断面を積み重ねて体積にする）。内側の積分で y を定数扱いするのは、偏微分の考え方とまったく同じです。
例
∫₀¹∫₀¹ (x+y) dx dy を計算します。内側（x）：∫₀¹(x+y)dx = [x²/2 + yx]₀¹ = 1/2 + y。外側（y）：∫₀¹(1/2 + y)dy = [y/2 + y²/2]₀¹ = 1/2 + 1/2 = 1。体積は 1 です。
よくある誤解
「積分記号が二つだから2倍難しい」というのは誤りです——実際は一度に一つずつ、もう一方の変数を定数として扱って順に計算します。滑らかな領域では、x を先に積分しても y を先に積分しても結果は変わりません（フビニの定理）。
どこで使うか
質量・重心・慣性モーメント（領域上で密度を積分する）、同時確率分布（2変数の確率の合計 = 1）、電磁束、コンピューターグラフィックスの光の積分——「領域に広がる量の合計」はすべて重積分です。
どこから来たか
ニュートンとライプニッツの積分を多変数に拡張したもの。19世紀にフビニが、これを1変数の積分の繰り返しとして書き直せることを証明し、実際の計算への道を開きました。
前提概念
確認問題
∫₀¹∫₀¹ 1 dx dy はいくつですか？（単位正方形の上の高さ1の体積）
- 0
- 1✓
- 2
- 1/2
練習
∫₀²∫₀³ 1 dx dy を計算しましょう。（3×2 の底面の上にある高さ1の直方体の体積）
答え: 6
- 内側：∫₀³ 1 dx = 3
- 外側：∫₀² 3 dy = 3·2 = 6
ポイント: 定数 1 を積分すると、領域の面積 × 高さ = 体積になります。
∫₀¹∫₀¹ (x+y) dx dy を計算しましょう。
答え: 1
- 内側（x）：∫₀¹(x+y)dx = 1/2 + y
- 外側（y）：∫₀¹(1/2 + y)dy = 1/2 + 1/2 = 1
ポイント: 累次積分は内側から外側へ——内側の積分では y は定数です。
∫₀²∫₀² xy dx dy を計算しましょう。
答え: 4
- 内側（x）：∫₀² xy dx = y·[x²/2]₀² = 2y
- 外側（y）：∫₀² 2y dy = [y²]₀² = 4
ポイント: 変数が分離できるときは因数分解できます：(∫x dx)(∫y dy) = 2·2 = 4。
積分の順序を入れ替えても（x を先にしても y を先にしても）同じ答えになる理由を、ノートに説明しましょう（フビニの定理）。
答え: undefined
- 体積は一つの実体です——縦に切った断面を積んでも横に切った断面を積んでも、同じ空間を埋めます
- 有界な領域上の連続な（積分可能な）関数では、どちらの順序の累次積分もその体積に等しくなります
- これがフビニの定理——順序を入れ替えられる条件です
ポイント: 滑らかな関数では順序は自由——その下にある体積はただ一つです。