解析・微積分methodintermediate
定積分
“定積分は、面積を一つの数に圧縮します。”
数式
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)読み方: aからbまでの面積は、原始関数Fのbにおける値からaにおける値を引いたもの
- a, b
- — 区間の始まりと終わり(下限と上限)
- F
- — fの原始関数(微分するとfになる関数)
- F(b) − F(a)
- — 上側の値から下側の値を引いたもの
きっかけ
定積分には「無限に足し続ける」ような作業は要りません——原始関数に2つの数を代入して引き算するだけです。
やさしく言うと
[a,b]上の面積を、リーマン和ではなく原始関数Fを見つけてF(b)−F(a)を計算することで求めます。
直感
定積分は(関数ではなく)一つの数です。走行距離の目盛りのように、終点までに積み上がった量F(b)と始点までの量F(a)の差が、その区間で新しく積み上がった面積になります。
どう作られるか
①fの原始関数F(微分するとfに戻る関数)を見つける、②上側のbを代入する、③下側aでの値を引く。記号[F(x)]ₐᵇは、この「代入して引く」操作を表します。
例
∫₀³ x² dx:原始関数はx³/3。[x³/3]₀³ = 27/3 − 0 = 9。
よくある誤解
定積分は関数ではなく数です。しかも「符号付きの面積」なので、x軸より下の部分は負として数えられ、値が0や負になることもあります。
どこで使うか
「区間全体での合計」から実際の数値を取り出す場面——総移動距離、平均値、仕事、確率など。
どこから来たか
ライプニッツの∫記号は、ラテン語summa(「和」)の頭文字Sを引き伸ばしたもので、「足し合わせる」という起源が今も表記に残っています。
前提概念
確認問題
∫₀² x dxの値はいくつですか?
- 1
- 2✓
- 4
- 0
練習
∫₀² 2x dxを計算しなさい。
答え: 4
解き方:
- 原始関数:x²
- [x²]₀² = 4 − 0 = 4
ポイント: 原始関数を求め、上下を代入して引き算します。
∫₁² 3x² dxを計算しなさい。
答え: 7
解き方:
- 原始関数:x³
- [x³]₁² = 8 − 1 = 7
ポイント: 係数3のおかげで、原始関数はきれいなx³になります。
∫₀¹ (2x+1) dxを計算しなさい。
答え: 2
解き方:
- 原始関数:x²+x
- [x²+x]₀¹ = (1+1) − 0 = 2
ポイント: 項ごとに原始関数を求めて合わせます。