連続性
“連続性とは「極限の値=実際の値」というだけのことです。”
数式
lim(x→a) f(x) = f(a)読み方: x=aでの極限が関数の値と等しい——このときfはaで連続
- f(a)
- — その点における関数の実際の値
- lim(x→a) f(x)
- — その点に近づいたときの極限
- =
- — 両者が一致するとき、fはaで連続
きっかけ
連続性は「ペンを離さずに描けるかどうか」を一つの式に落とし込んだものです。
やさしく言うと
近づいたときに予想される値(極限)と、その点に実際に記された値がぴったり一致していれば、曲線はそこを途切れずに通っています。
直感
穴(欠けた点)もなく、飛び(段差)もなく、爆発(垂直に飛び出す点)もない。指でグラフをなぞって一度も離さずに済むなら、それは連続です。
どう作られるか
3つが同時に成り立つ必要があります——①f(a)が定義されている、②極限が存在する、③両者が等しい。どれか一つでも欠ければ、その点で曲線は破れます。
例
f(x)=x²+1のx=1で見ると、極限lim(x→1)=2、値f(1)=2。両者が一致するので、fはx=1で連続です。
よくある誤解
連続だからといって微分可能とは限りません。|x|はx=0で途切れておらず連続ですが、鋭くとがっているため、そこでの傾きはうまく定まりません。
どこで使うか
中間値の定理や最大値・最小値の定理のような「どこかに必ず存在する」という強力な保証は、連続関数にしか働きません。
どこから来たか
「途切れがない」というのはかつて直感任せでしたが、1800年代にコーシーが極限を使って定義し、連続性は絵ではなく不等式で扱えるものになりました。
前提概念
確認問題
fがx=aで連続であるために必要なことは何ですか?
- 極限が関数の値と等しい✓
- 値が0でなければならない
- 傾きが0でなければならない
- fがaで微分可能でなければならない
練習
f(x)=2x+1はx=3で連続ですか?極限とf(3)を別々に求めて比較しなさい。
答え: undefined
- 極限:lim(x→3)(2x+1) = 7
- 値:f(3) = 2・3+1 = 7
- 一致するので、fはx=3で連続
ポイント: 多項式はどこでも連続——極限は代入した値そのものです。
f(x)=x²−xは連続なので、lim(x→2) f(x) = f(2)です。その値はいくつですか?
答え: 2
- 連続なので、そのまま代入すればよい
- f(2) = 4 − 2 = 2
ポイント: 連続関数では、極限は代入一発で求まります。
次のうち連続でないものはどれですか?
答え: 0
- 1/xはx=0で定義されず、±∞に発散する
- 他はそれぞれの点で途切れずに通っている
ポイント: 未定義・飛び・発散があれば、その点は不連続です。