解析・微積分conceptintermediate
極限
“極限が測るのは到達ではなく近づき方。”
数式
lim(x→a) f(x) = L読み方: xをaに限りなく近づけたとき、f(x)が近づいていく値L
- x→a
- — xがaに近づく（限りなく近づくが、決して等しくはならない）
- f(x)
- — そこでの関数の値
- L
- — f(x)が近づいていく値（極限）
きっかけ
極限が問うのは「そこでの値は何か」ではなく「そこへ向かう途中で何に近づいていくか」です。
やさしく言うと
xをある値aにどんどん近づけていき、関数がどの数値に群がっていくかを見る。
直感
実際には到達しなくても、近づき方を見るだけで行き着く先を言い当てられます。霧の中を歩いているとき、すべての道標が同じ一点を指しているなら、その一点が極限です。
どう作られるか
大事なのはx=aでの値ではなく、x=a付近での振る舞いです。その点に穴が開いていても、両側から同じ数に近づいていれば極限は存在します。
例
(x²−1)/(x−1)はx=1で0/0となり、そこでは未定義です。しかし式はx+1に簡約でき、xを1に近づけると値は2に向かう → 極限は2。
よくある誤解
極限と実際の値は異なることがあります。x=1ではこの関数は定義すらされていませんが、極限はきれいに2になります。
どこで使うか
微分、積分、連続性、無限級数——微積分のすべてはこの極限という一つの考えの上に立っています。
どこから来たか
1600年代には人々は「限りなく小さい量」を手探りで扱っていました。1800年代にコーシーとワイエルシュトラスが極限を厳密に確立し、微積分に基盤を与えました。
前提概念
確認問題
lim(x→3) (x²−9)/(x−3)はいくつですか？
- 0
- 3
- 6✓
- 9
練習
lim(x→2) (x²−4)/(x−2)を求めなさい。
答え: 4
解き方:
- 分子を因数分解：x²−4 = (x−2)(x+2)
- 約分 → x+2（x≠2のとき）
- x=2を代入 → 4
ポイント: 0/0に出会ったら約分で穴をふさぎ、それから代入する。
lim(x→0) (3x+1)を求めなさい。
答え: 1
解き方:
- この関数はどこでも滑らかにつながっている
- そのままx=0を代入 → 1
ポイント: 穴がなければ、極限は代入した値そのもの。
lim(x→0) 1/xは存在しますか？左側と右側で何が起きるかノートに書きなさい。
答え: undefined
解き方:
- 右側から（x→0⁺）：1/x → +∞
- 左側から（x→0⁻）：1/x → −∞
- 両側が一致しないので極限は存在しない
ポイント: 両側が異なる値に向かうなら、極限は存在しない。